Hauptzweig Arcuscosinus Identität beweisen

29.03.2023, 22:04	NewMathematiker95	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptzweig Arcuscosinus Identität beweisen Guten Abend zusammen, in einer Aufgabe wurde der Hauptzweig des Arcuscosinus wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} arccos:[-1,1]\rightarrow [0,\pi] \end{eqnarray}$ . Dann wird wegen $\begin{eqnarray} \|Re z\| \leq \|z\| \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} arg(z):= arccos(\frac{Rez}{\|z\|}), Im z \geq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pi + arccos(-\frac{Rez}{\|z\|}), Im z < 0 \end{eqnarray}$ eine Abbildung $\begin{eqnarray} arg: \mathbb C \setminus {{0}} \rightarrow [0,2\pi) \end{eqnarray}$ definiert. Zeige $\begin{eqnarray} sin(arg(z))=\frac{Imz}{\|z\|} \end{eqnarray}$ Es war auch eine Aufgabe zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} cos(arg(z))=\frac{Rez}{\|z\|} \end{eqnarray}$ das war kein Problem habe ich selber gelöst. Ich verstehe nicht wie man auf einmal $\begin{eqnarray} Im z \end{eqnarray}$ reinbekommt. Kann mir wer da helfen? Ich weiß das ich wahrscheinlich $\begin{eqnarray} \sin(\pi +x)=-\sin(x) \end{eqnarray}$ anwenden muss für deb zweiten Teil der Abbildung
29.03.2023, 22:32	NewMathematiker95	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt ja $\begin{eqnarray} \| Rez \| \leq \| z \| , \| Im z \| \leq \|z \| , \| \overline{z} \| = \|z\|, \|z\|=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ dann wäre $\begin{eqnarray} \frac{Rez}{\|z\|}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{eqnarray}$ sehe aber grad glaub ich den Wald vor lauter Bäumen nicht wie das zu $\begin{eqnarray} \frac{Imz}{\|z\|}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{eqnarray}$ werden soll
29.03.2023, 22:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir nicht sicher, ob du dir veranschaulicht hast, was da eigentlich gerechnet wird. Für $\begin{align} z \neq 0 \end{align}$ ist $\begin{align} \arg(z) \end{align}$ der Winkel, den die Strahlen von 0 durch 1 und von 0 durch $\begin{align} z \end{align}$ einnehmen. Falls $\begin{align} z \end{align}$ in der abgeschlossenen oberen Halbebene liegt, nimmt man den konvexen Winkel, für $\begin{align} z \end{align}$ in der offenen unteren Halbebene den überstumpfen Winkel. Eine dynamische Betrachtung ist vielleicht noch besser. Betrachte den Strahl von 0 durch 1. Drehe ihn nun gegen den Uhrzeigersinn um den Nullpunkt, bis er auf dem Strahl von 0 durch $\begin{align} z \end{align}$ liegt. Der dabei überstrichene Winkel ist gerade $\begin{align} \arg(z) \end{align}$ . Die ganzen so furchtbar aussehenden Formeln spiegeln letztlich nur die Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck, wie man sie in der Mittelstufe des Gymnasiums kennenlernt, wider, ergänzt durch die Betrachtung überstumpfer Winkel. Du kannst auch die Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis darin erkennen. Oder du kannst formal rechnen. Dahinter steckt: $\begin{align} \left( \frac{\operatorname{Re}(z)}{\|z\|} \right)^2 + \left( \frac{\operatorname{Im}(z)}{\|z\|} \right)^2 = \frac{\left( \operatorname{Re}(z) \right)^2+\left( \operatorname{Im}(z) \right)^2}{\|z\|^2} = \frac{\|z\|^2}{\|z\|^2} = 1 \end{align}$ und andererseits der trigonometrische Pythagoras $\begin{align} \cos^2(t) + \sin^2(t) = 1 \end{align}$ Vorsicht beim Auflösen der Quadrate. Je nach Quadrant muß das Vorzeichen passend bestimmt werden. Da sind wohl Fallunterscheidungen nötig.
30.03.2023, 00:16	NewMathematiker95	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man... Leopold vielen Dank... der Groschen ist gefallen... ich sollte glaub ich mal paar Tage Pause machen bevor ich mich an meine nächsten Aufgaben setze. Nochmal vielen vielen Dank.

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