Varianz auf trunkierten Normalverteilungen |
30.03.2023, 20:04 | Schachspieler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Varianz auf trunkierten Normalverteilungen Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Wir zerlegen das [0,1]-Intervall in n gleich große Stücke der Länge 1/n. Sei nun normalverteilt. Seien trunkierte Zufallsvariablen von X auf den Intervallen . Zu zeigen ist nun, dass die Varianz kleiner wird, je weiter in der Mitte das Intervall liegt. Meine Ideen: Ich bin jetzt wie folgt vorgegangen: Da die Normalverteilung symmetrisch ist, brauchen wir nur den Bereich kleiner dem Erwartungswert zu betrachten. Seien also a,b,c drei dieser Intervallgrenzen. Dann gilt für die Varianz auf [a,b] folgendes: Für [b,c] gilt dasselbe analog. Ich will jetzt zeigen, dass die Varianz für [b,c] kleiner als für [a,b] ist. Es gilt F(b)-F(a)=F(c)-F(b), da die Intervalle so gewählt sind. Ist es klar, worauf es hinauslaufen soll? Latex-End-Tag korrigiert. (/latex statt \latex) Steffen |
||||||
31.03.2023, 00:36 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann sein, dass "trunkiert" eine übliche Bezeichnung ist, aber ich kenne sie nicht. Mir würden zwei naheliegende, aber voneinander verschiedene Auffassungen von " trunkiert auf Intervall " einfallen: 1) Statt wird die Zufallsgröße betrachtet, d.h. es wird oben wie unten bei Überschreitung "gedeckelt". 2) Es wird solange "gewürfelt", bis im Intervall liegt. D.h., es geht um die bedingte Verteilung . Deine Terme mit den immer wiederkehrenden Faktoren weisen darauf hin, dass du vermutlich 2) meinst.
Tatsächlich? Ich hatte angenommen, dass du mit die Verteilungsfunktion von meinst, während man mit aber ja üblicherweise die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung meint. Insofern ist i.a. , zumindest im Fall . Vielleicht meinst du es aber auch so, dass überall wo du geschrieben hast tatsächlich stehen sollte - dann ziehe ich meinen Einwand zurück.
Sicher, dass das stimmt? Ich komme bei Interpretation 2) und mit Abkürzung auf was anderes: , dabei ist . Was mich an deiner Formel schon zweifeln lässt, sind Unstimmigkeiten hinsichtlich der "physikalischen Maßeinheit": Wenn und damit auch seine Parameter die Maßeinheit haben mögen, dann sind die -Werte dimensionslos und die -Werte haben Maßeinheit . hat auch Maßeinheit , die Varianz davon muss haben. Kontrollieren wir das mal bei deiner Formel: . EDIT (3.4.): Scheint kein Interesse mehr zu bestehen. Ok, kann man nichts machen. |
|