Varianz auf trunkierten Normalverteilungen

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Schachspieler Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz auf trunkierten Normalverteilungen
Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
Wir zerlegen das [0,1]-Intervall in n gleich große Stücke der Länge 1/n. Sei nun normalverteilt. Seien trunkierte Zufallsvariablen von X auf den Intervallen . Zu zeigen ist nun, dass die Varianz kleiner wird, je weiter in der Mitte das Intervall liegt.

Meine Ideen:
Ich bin jetzt wie folgt vorgegangen:
Da die Normalverteilung symmetrisch ist, brauchen wir nur den Bereich kleiner dem Erwartungswert zu betrachten. Seien also a,b,c drei dieser Intervallgrenzen. Dann gilt für die Varianz auf [a,b] folgendes:



Für [b,c] gilt dasselbe analog. Ich will jetzt zeigen, dass die Varianz für [b,c] kleiner als für [a,b] ist. Es gilt F(b)-F(a)=F(c)-F(b), da die Intervalle so gewählt sind.
Ist es klar, worauf es hinauslaufen soll?


Latex-End-Tag korrigiert. (/latex statt \latex)
Steffen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann sein, dass "trunkiert" eine übliche Bezeichnung ist, aber ich kenne sie nicht. Mir würden zwei naheliegende, aber voneinander verschiedene Auffassungen von " trunkiert auf Intervall " einfallen:

1) Statt wird die Zufallsgröße betrachtet, d.h. es wird oben wie unten bei Überschreitung "gedeckelt".

2) Es wird solange "gewürfelt", bis im Intervall liegt. D.h., es geht um die bedingte Verteilung .

Deine Terme mit den immer wiederkehrenden Faktoren weisen darauf hin, dass du vermutlich 2) meinst.

Zitat:
Original von Schachspieler
Es gilt F(b)-F(a)=F(c)-F(b), da die Intervalle so gewählt sind.

Tatsächlich? Ich hatte angenommen, dass du mit die Verteilungsfunktion von meinst, während man mit aber ja üblicherweise die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung meint. Insofern ist i.a.

,

zumindest im Fall . verwirrt
Vielleicht meinst du es aber auch so, dass überall wo du geschrieben hast tatsächlich stehen sollte - dann ziehe ich meinen Einwand zurück.


Zitat:
Original von Schachspieler
Dann gilt für die Varianz auf [a,b] folgendes:


Sicher, dass das stimmt? Ich komme bei Interpretation 2) und mit Abkürzung auf was anderes:

, dabei ist .

Was mich an deiner Formel schon zweifeln lässt, sind Unstimmigkeiten hinsichtlich der "physikalischen Maßeinheit": Wenn und damit auch seine Parameter die Maßeinheit haben mögen, dann sind die -Werte dimensionslos und die -Werte haben Maßeinheit . hat auch Maßeinheit , die Varianz davon muss haben. Kontrollieren wir das mal bei deiner Formel:

.

EDIT (3.4.): Scheint kein Interesse mehr zu bestehen. Ok, kann man nichts machen.
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