Formel für einem Kreis eingeschriebenes Vieleck

30.03.2023, 22:07

kikikikiki

Formel für einem Kreis eingeschriebenes Vieleck

Meine Frage:
Ich komme zwar auf die richtige Lösung, aber ich möchte die Formel verstehen.
Für Angabe un Lösungen siehe Bild
Für Beispiel b) rechne ich mir mit sin(20) zuerst c/2, somit auch c.
Dann berechne ich die Höhe h mit dem Satz des Phytagoras.
und dann rechne ich mit den einzelnen Lösungen c * h / 2 den Flächeninhalt mal die Anzahl der Dreiecke im Vieleck.
Man kann das alles aber auch in einer Formel berechnen. Siehe Bild! (kommt auch die genauere Zahl für die Fläche).
Aber ich verstehe nicht wie man auf diese Formel kommt. Wo wird in dieser Formel mit h multipliziert? und wieso der ganze Winkel d. Gleichschenkeligen Dreiecks? und nicht halbiert für ein Rechtwinkeliges 128549!
Bitte berücksichtigt, dass wir bis jetzt nur gelernt haben wie man sin, tan, cos im rechtwinkeligen Dreieck anwendet. Vielen Dank!! smile

Meine Ideen:
idee oben

30.03.2023, 23:40

klauss

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RE: Einem Kreis wird ein Vieleck eingeschrieben. Wie stelle ich die Formel auf?
Wenn man sich ein Bild malt (hast Du das getan?) mit einem exemplarischen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Eck, kann man sich die Formel
$\begin{eqnarray*} A=n\cdot r^{2}\cdot \sin\left(\frac{\alpha }{2} \right) \cdot \cos\left(\frac{\alpha }{2} \right) \end{eqnarray*}$
zusammenstellen.
Anschließend macht man noch Gebrauch von der Beziehung
$\begin{eqnarray*} \sin(\varphi)\cos(\varphi)=\frac{1}{2}\sin(2\varphi) \end{eqnarray*}$

30.03.2023, 23:58

HAL 9000

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Na ob Additions- bzw. Doppelwinkeltheoreme angesichts von

Zitat:

Original von kikikikiki
Bitte berücksichtigt, dass wir bis jetzt nur gelernt haben wie man sin, tan, cos im rechtwinkeligen Dreieck anwendet.

mal nicht in Stirnrunzeln enden... Allerdings kann man mit bloßen Kenntnissen von Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck auch rasch $\begin{eqnarray*} h_a = b\sin\gamma \end{eqnarray*}$ erkennen, und das in $\begin{eqnarray*} F=\frac{ah_a}{2} \end{eqnarray*}$ eingesetzt die Dreiecksflächenformel $\begin{eqnarray*} F=\frac{ab}{2}\sin\gamma \end{eqnarray*}$ beweisen. Das n-Eck hier besteht nun aus genau $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kongruenten gleichschenkligen Dreiecken, alle mit Schenkellängen $\begin{eqnarray*} a=b=r \end{eqnarray*}$ sowie Winkel $\begin{eqnarray*} \gamma = \frac{360^{\circ}}{n} \end{eqnarray*}$ an der Spitze und damit Dreiecksfläche $\begin{eqnarray*} F=\frac{r^2}{2}\sin\left(\frac{360^{\circ}}{n}\right) \end{eqnarray*}$ . Das ergibt dann summierrt die gesamte $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Eck-Fläche $\begin{eqnarray*} F_n = n\cdot F = n\frac{r^2}{2}\sin\left(\frac{360^{\circ}}{n}\right) \end{eqnarray*}$ .

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