Gleich große Kreise

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Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
Gleich große Kreise
In einem Buch bin ich auf dieses Beispiel gestoßen, wo Archimedes festgestellt hat, daß die beiden farbigen Kreise gleich groß sind. Abgesehen davon, daß es mich etwa eine Stunde Zeit gekostet hat, das Ganze mit Geogebra nachzuzeichnen, verstehe ich immer noch nicht, warum das so ist. Warum sind beide farbigen Kreise gleich groß?
[attach]56956[/attach]
hawe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleich große Kreise
Nach

https://www.geogebra.org/search/Archimedes

hast Du das schon nachgelesen?

https://www.geogebra.org/m/CAe8ACWb
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

"Zwillingskreise des Archimedes" ? Kannte ich noch nicht, danke. Interessant ist noch, dass sich die gemeinsame Krümmung der beiden Kreise blau und rot als Summe der beiden Krümmungen der mittleren "weißen" Kreise ergibt, d.h. in der speziellen Konfiguration von U.Ruhnau dann

, umgestellt .

Dass bei berührenden Kreisen der Krümmung ( = Kehrwert vom Radius) eine besondere Bedeutung zukommt, ist mir auch vom Satz von Descartes geläufig.
Conny_1729 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleich große Kreise
Dieses Problem findet man auch bei den berühmten "Japanischen Tempelgeometrien" (soll dort schon 1838 beschrieben worden sein - Ref.: Chizuru Akabane und andere (Nagano 1985).

Vielleicht hilft ja folgende Beschreibung weiter (The arbelos in Wasan geometry: Ootoba’s
problem and Archimedean circles), um das Problem hinsichtlich der Gleichheit der Kreise zu beleuchten.

Gruß Conny.
werner Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleich große Kreise
ich einfaches Gemüt hab´s halt einfach ausgerechnet,

wie von Hal angegeben:





....
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@werner

Noch ein Fakt, der sich aus der allgemeinen Rechnung ergibt: Die -Koordinate des blauen Kreismittelpunkts ergibt sich als geometrisches Mittel der Durchmesser von blauem Kreis sowie dem weißen Kreis, auf dem er "aufliegt". Selbe Aussage dann auch beim roten Kreis.

D.h. beim blauen Kreis und (wie bereits angegeben) beim roten Kreis.
 
 
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleich große Kreise
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau

..., verstehe ich immer noch nicht, warum das so ist. Warum sind beide farbigen Kreise gleich groß?

[attach]56956[/attach]




Bist du zur Lösungszeichnung mit einer klassischen Konstruktion gelangt? Wenn ja, dann solltest du erkennen, daß die farbigen Kreise nicht nur gleichgroß sind, sondern zudem noch bezüglich der auf der x-Achse senkrecht stehenden Trennungssehne eine gewisse Symmetrie herrscht. Die Mittelpunkte der farbigen Kreise liegen symmetrisch zur Trennungssehne.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleich große Kreise
Zitat:
Original von quadrierer
...
Die Mittelpunkte der farbigen Kreise liegen symmetrisch zur Trennungssehne.

Das ist erstens keine ("echte") Symmetrie und zweitens folgt dies bereits schon aus der gleichen Größe der beiden Kreise.

mY+
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleich große Kreise
Zitat:
Original von mYthos
Das ist erstens keine ("echte") Symmetrie und zweitens folgt dies bereits schon aus der gleichen Größe der beiden Kreise.

Die ursprüngliche Frage, warum sind die farbigen Kreis gleich groß, wird mi dieser Aussage nicht beantwortet.

Deiner Einsicht kann ich nicht folgen, denn es sind auch farbige Kreise von gleicher Größe möglich, bei denen es die angesprochene gewisse Symmetrie nicht gibt. Die minimalen Abstände der Kreis-Mittelpunkte zur Trennungsgeraden sind dann nicht von gleicher Größe.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von quadrierer
denn es sind auch farbige Kreise von gleicher Größe möglich, bei denen es die angesprochene gewisse Symmetrie nicht gibt. Die minimalen Abstände der Kreis-Mittelpunkte zur Trennungsgeraden sind dann nicht von gleicher Größe.

Wie soll das gehen, wenn (wie im vorliegenden Fall) die beiden gleich großen Kreise die Trennungsgerade auch berühren? verwirrt
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Wie soll das gehen, wenn (wie im vorliegenden Fall) die beiden gleich großen Kreise die Trennungsgerade auch berühren? verwirrt

Soll damit ausgesagt werden, die zwischen dem äusseren Kreis und den inneren Kreisen tangierend berührenden farbigen Kreise von gleicher Größe gibt es nur dann, wenn sie auch die Trennungsgerade, wie gezeigt, berühren?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Toll, wenn Nachfragen nicht beantwortet werden, sondern stattdessen ablenkend mit Gegenfragen reagiert wird...

Also nochmal von vorn: Es geht hier um die Grundsituation Zwillingskreise des Archimedes, um nichts anderes. Und da sind die beiden Kreise gleich groß, und berühren beide die genannte, auf der x-Achse senkrecht stehende Sehne. Und du behauptest nun:

Zitat:
Original von quadrierer
Deiner Einsicht kann ich nicht folgen, denn es sind auch farbige Kreise von gleicher Größe möglich, bei denen es die angesprochene gewisse Symmetrie nicht gibt. Die minimalen Abstände der Kreis-Mittelpunkte zur Trennungsgeraden sind dann nicht von gleicher Größe.

Und das sollst du bitte erklären, wie das möglich sein soll.
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Und das sollst du bitte erklären, wie das möglich sein soll.

Das folgende Bild zeigt es.
[attach]56964[/attach]
Besagte gleich grosse farbige Kreise ohne die besagte Symmetrie gibt es für endlos viele Konstellationen. Die Zwillingskreise des Archimedes mit der besagten Symmetrie gehören nicht zur Menge dieser Konstellationen ohne Symmetrie.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

D.h. verlässt du die Rahmenbedingungen der Zwillingskreise des Archimedes - womit dein obiger "Widerspruch" komplett überflüssig (weil irrelevant) war.
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »

Archimedische Zwillinge sind nur die mit den größten Flächen zwischen äusserem und den inneren Kreisen. Die eingangs aufgeworfene Frage
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau

..., verstehe ich immer noch nicht, warum das so ist. Warum sind beide farbigen Kreise gleich groß? .

ist für mich im bisherigen Disputverlauf nicht ausreichend beantwortet. Es fehlt, wie mit einer Sequenz von zusammenhängenden Kreisen und Geraden (klassische Konstruktion) zur gesuchten Grenzposition für die Archimedischen Zwillinge gelangt wird? Damit läßt sich dann auch die aufgeworfene Frage beantworten.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Geben wir es auf!
Wieder ein typischer "Quadrierer", dagegen sind wir offensichtlich machtlos! Big Laugh

mY+
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleich große Kreise
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
[attach]56956[/attach]


Was bedeuten die rote und die blaue Linie?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind vermutlich die möglichen geometrischen Orte für Kreismittelpunkte derjenigen Kreise, die sowohl die Trennlinie als auch den "unteren" weißen Kreis berühren, nicht notwendig aber den großen weißen Kreis. Von der Form her sind das Parabeln, deren Gleichungen sich durch die definierenden Abstandsbedingungen leicht bestimmen lassen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Hier meine dynamische Zeichnung mit Euklid.
Conny_1729 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
... Von der Form her sind das Parabeln, deren Gleichungen sich durch die definierenden Abstandsbedingungen leicht bestimmen lassen.


In der Tat! Wenn man im Punkt D an der Parabel eine Normale setzt und an dieser die Strecke AD gespiegelt wird, dann erzeugt man eine Parallele zur X-Achse. Somit muss der Punkt A der Brennpunkt von der linken Parabel sein. D.h., es kann direkt die Brennpunktgleichung für eine Parabel genutzt werden. Für die rechte Parabel gilt das entsprechend auch.

Gruß
Conny.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleich große Kreise
Zitat:
Original von quadrierer
Die ursprüngliche Frage, warum sind die farbigen Kreis gleich groß, wird mi dieser Aussage nicht beantwortet.


Ist der Radius des umschließenden Kreises und sind die Radien der innen liegenden weißen Kreise in Ulrich Ruhnaus Figur, also , so kann man zum Beispiel mit Mitteln der Analytischen Geometrie oder mehrfacher Anwendung des Satzes des Pythagoras nachweisen, daß der rote und blaue Kreis denselben Radius besitzen, nämlich



Die Form legt eine geometrische Konstruktion von aus mit dem Strahlensatz nahe. Oder man wandelt Rechtecksflächen ineinander um: .
Du kannst dich selbst einmal in der rechnerischen und zeichnerischen Lösung versuchen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Conny_1729
Somit muss der Punkt A der Brennpunkt von der linken Parabel sein.

Die zugehörige Leitlinie im Sinne der geometrischen Parabeldefinition ist die Gerade in der Skizze von U.Ruhnau (für a=1,b=2 wäre das ).

Für die rechte Parabel ist dann der Brennpunkt und die Leitlinie (für a=1,b=2 wäre das ).
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleich große Kreise
Zitat:
Original von Leopold
Du kannst dich selbst einmal in der rechnerischen und zeichnerischen Lösung versuchen.

Meinen Versuch zeigen die folgenden 2 Bilder. Es wurde der Punkt D im Zugmodus bewegt, wobei die Gleichheit der grünen Flächen erhalten bleibt, denn für beide Fälle gilt rR=ab [attach]56968[/attach]
[attach]56969[/attach].
Conny_1729 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleich große Kreise
Zitat:
Original von quadrierer
Meinen Versuch zeigen die folgenden 2 Bilder. Es wurde der Punkt D im Zugmodus bewegt, wobei die Gleichheit der grünen Flächen erhalten bleibt, denn für beide Fälle gilt rR=ab .


Die zeichnerische Lösung der übereinstimmenden Rechteckflächen R*r = a*b finde ich eine wunderbare Visualisierungshilfe vom Ausgangsproblem, um die Abhängigkeiten der Radien zueinander zu erklären. Doch besitzt diese Visualisierung auch Beweiskraft?

Wenn man von der Aussage ausgeht, dass die beiden farbigen Kreise nachweislich gleiche Radien besitzen, dann lassen sich jene gezeigten Rechteckflächen konstruieren. Doch es wird nun einfach behauptet, dass die Diagonalen (vom Startpunkt N ausgehend) exakt durch die Schnittpunkte der beiden Rechtecke verlaufen werden. Muss das nicht erst noch bewiesen werden, dass es wirklich so ist? Denn knapp vorbei ist auch daneben.

Oder ist dieses Rechteckverfahren so schon schlüssig genug?

Gruß
Conny.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleich große Kreise
@hawe
Vielen Dank! smile
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleich große Kreise
Zitat:
Original von Conny_1729
Doch besitzt diese Visualisierung auch Beweiskraft?
Wenn man von der Aussage ausgeht, dass die beiden farbigen Kreise nachweislich gleiche Radien besitzen, dann lassen sich jene gezeigten Rechteckflächen konstruieren. Doch es wird nun einfach behauptet, dass die Diagonalen (vom Startpunkt N ausgehend) exakt durch die Schnittpunkte der beiden Rechtecke verlaufen werden. Muss das nicht erst noch bewiesen werden, dass es wirklich so ist? Denn knapp vorbei ist auch daneben.

Oder ist dieses Rechteckverfahren so schon schlüssig genug?


Dieses Verfahren mit „flächengleicher Rechteck-Gestaltänderung“ ist für sich allein schlüssig, denn die grünen Flächen rechts und links neben der angesprochenen Diagonale sind gleich groß. Bei knapp daneben, einer nur genäherter Diagonale, gibt es diese Gleichheit nicht. Die Kreisradien R und r, sowie a und b, führen schlüssig nachvollziehbar zu den entsprechenden grünen Rechteck-Seiten. Dies zeigen meine beiden Bilder zweifelsfrei.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Für den Ersteller solcher Bilder mag alles immer "für sich allein schlüssig" sein. Der Betrachter muss sich hingegen (bei fehlender Konstruktionsbeschreibung) errätseln, was denn dort nun in welcher Reihenfolge vonstatten ging. Und das kann bisweilen so anstrengend sein, dass man in der Zeit die rechnerische Lösung schon zigmal bestimmt hat. Für mich ist an deinen Bildern ohne eine solche Beschreibung so gut wie gar nichts "zweifelsfrei".
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Im 19. Jahrhundert haben Bilder von Geistern nicht zweifelsfrei bewiesen, dass es Geister gibt. Im 20. Jahrhundert haben Bilder von UFOs nicht zweifelsfrei bewiesen, dass es UFOs gibt. Im 21. Jahrhundert beweisen Bilder von Kreisen nicht zweifelsfrei, dass sie gleich groß sind. In allen drei Fällen sind Beweise notwendig, um die Wahrheit von Aussagen zu begründen.
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleich große Kreise
[quote]Original von Ulrich Ruhnau
Warum sind beide farbigen Kreise gleich groß?[/B]

Meine Bilder betreffen keine Lösung mit Parabelkurve. Hierzu fehlt bisher immer noch der geforderte Beweis, daß die Mittelpunkte der Kreis-Zwillinge auf Parabeln gleichgroße Zwillungs-Kreisradien bedingen.

Eine klassische Konstruktion der Archimedischen Zwillinge, bei der die Zwillingsmittelpunkte als Schnittpunkte mit den beiden Parabelkurven bestimmt werden, habe ich bisher noch nicht gesehen. Kann es sein, daß mit einer elementaren Sequenz allein von Kreisen und Geraden keine exakte diskrete Ergebnisdarstellung gezeichnet werden kann? Klassisch konstruiert wird mit endlich vielen Schritten immer nur eine Parabel-Punktekurve mit Zwischenraum zwischen den Punkten, in dem der Schnittpunkt für die gesuchte Ergebnisgröße liegt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Hier meine ultimative Lösung. Ich beziehe mich auf die Originalzeichnung von Ulrich Ruhnau. Wie in meinem vorigen Beitrag seien die Radien des umschließenden weißen Kreises und der weißen Kreise um und . Es gilt: . Gesucht ist der Radius des blauen Kreises.
Er läßt sich im Dreieck bestimmen. Die Höhe von auf teilt in zwei rechtwinklige Dreiecke. In beiden wendet man Pythagoras an:





Aus den Gleichungen kann man eliminieren und erhält:



Löst man die Binome auf, fallen alle Quadrate weg, und man bekommt schließlich



Die Formel ist invariant beim Vertauschen von und und muß daher auch für den roten Kreis gelten, da dort die analoge Konstellation wie beim blauen Kreis vorliegt. Dies zeigt, daß die farbigen Kreise denselben Radius haben und für ihn die obige Formel gilt.
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »

Hier meine ultimative Lösung Ich erkenne, die fünf beteiligten Kreise bilden beim System der Archimedischen Zwillinge ein Multikohärenzsystem. Damit sind für den Beweis der gleichen Größe bei den Zwillingen mehrere verschiedene Lösungswege möglich. Meiner, den das folgende Bild zeigt, dürfte in Kürze und anschaulicher Nachvollziehbarkeit wohl kaum zu unterbieten sein.
[attach]56975[/attach]

Mit den gegebenen Kreisen der Radien a; b und R werden eine rote und eine blaue Strecke, die sich im Punkt W schneiden, gezeichnet. Damit ist der Radius r=CW für die Zwillingskreise (rot und blau) bestimmt. Mir dem grünen Kreis werden zwei Parallelen rechts und links zur Trennungslinie in Punkt K_{1} für den blauen Zwilling und gegenüber für den roten Zwilling platziert. Um den Mittelpunkt zwischen Punkt E und B neben C wird der rote Kreis durch die Punkte E und B gezeichnet, der den roten Kreis mit Radius a=NE schneidet. Die Strecke von E aus durch diesen Peripheriepunkt schneidet die Parallele links zur Trennungslinie. Analog dazu wird der Mittelpunkt des blauen Zwillings ermittelt. Er kann aber auch mit dem Kreis der schwarzen Kreiskurve ermittelt werden.

Auch mit dieser Lösung bleibt aber immer noch offen, wie mittels Parabel zum Ziel gelangt wird-
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von quadrierer
dürfte in [...] anschaulicher Nachvollziehbarkeit wohl kaum zu unterbieten sein.

Das ist wohl wahr. Big Laugh
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von willyengland
Was bedeuten die rote und die blaue Linie?

Zitat:
Original von HAL 9000
Das sind vermutlich die möglichen geometrischen Orte für Kreismittelpunkte derjenigen Kreise, die sowohl die Trennlinie als auch den "unteren" weißen Kreis berühren, nicht notwendig aber den großen weißen Kreis. Von der Form her sind das Parabeln, deren Gleichungen sich durch die definierenden Abstandsbedingungen leicht bestimmen lassen.

Ich habe mich auch mit dieser Frage befasst und einen weiteren Ansatz gefunden.
Um das einfacher zu gestalten habe ich alle Kreise samt Trennlinie und Kurven um einen rechten Winkel nach rechts gekippt und so verschoben, dass Punkt C im Ursprung liegt.
Das sieht dann so aus.
[attach]56988[/attach]
Es geht um die Auflösung des rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse und den Katheten und



Wieder heben sich die Quadrate gegenseitig auf, es bleibt:

kann als Funktion der -Werte gesehen werden, das Wertepaar steht für alle Mittelpunkte von Kreisen,
die sowohl den gegebenen Kreis ("`kleiner weißer Kreis"') als auch die x-Achse berühren. Die Menge aller dieser Punkte
ergibt die



Dementsprechend muss für die rote Parabel durch ersetzt werden, und die Funktion ein negatives Vorzeichen bekommen,
da die ganze Konstellation an der x-Achse gespiegelt wird.



Um eine Kurve wieder in der urpsprünglichen Lage zu bekommen, müßte man die Umkehrfunktion bilden, z.lB. usw.

Für die Beantwortung der eigentlichen Frage haben die Kurven - soweit ich das beurteilen kann - keine Bedeutung.
Conny_1729 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Conny_1729
Somit muss der Punkt A der Brennpunkt von der linken Parabel sein.

Die zugehörige Leitlinie im Sinne der geometrischen Parabeldefinition ist die Gerade in der Skizze von U.Ruhnau (für a=1,b=2 wäre das ).

Für die rechte Parabel ist dann der Brennpunkt und die Leitlinie (für a=1,b=2 wäre das ).


Hallo Gualtiero,
mit deinem Verfahren hast du somit die "Brennpunkt-Gleichung" einer Parabel rechnerisch nachgewiesen. "HAL 9000" hatte ja schon auf die Parameter der beiden Leitlinien-Abstände hingewiesen.

Leitlinie

Gruß
Conny
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Link, Conny_1729. Ich werde mich damit befassen, denn "Leitlinie" hat mir bis jetzt nichts gesagt bzw. war mir nicht mehr geläufig.

Übrigens ist mir beim weiteren Nachdenken eingefallen, dass die Kurven doch etwas mit dieser Fragestellung zu tun haben. Man findet Archimedische Zwillinge auch, indem man besagte Parabeln mit einer Ellipse schneidet - die Schnittpunkte sind die Mittelpunkte der Zwillingskreise.

[attach]56995[/attach]

Ich habe ein einfaches Gedankenexperiment angestellt: Man stelle sich vor, dass der obere der inneren Kreise zu rollen beginnt, und zwar um den unteren, inneren Kreis, wobei er aber seinen Radius laufend verkleinert, sodass er sowohl den äußeren, umschließenden als auch den unteren Kreis berührt. Sein Mittelpunkt beschreibt auf diesem Umlauf, so meine ich, eine Ellipse.

Rechnerisch kann ich das allerdings nicht zeigen, ich stelle mir das ziemlich rechenintensiv vor.

Die Ellipsen im Bild habe ich nur mit MS-Paint skizziert.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

siehe auch Aufgabe 143
Conny_1729 Auf diesen Beitrag antworten »

Und damit hätten wir sie wieder, die markanten Brennpunkte der Kegelschnitte, die man auch bei diesem Problem anführen kann.

Brennpunkt F1: Mittelpunkt vom inneren größeren Kreis mit Radius b
Brennpunkt F2: Mittelpunkt vom äußeren Kreis mit Radius a+b
Brennpunkt F3: Mittelpunkt vom inneren kleineren Kreis mit Radius a

zur Unterscheidung …

Fall 1:
Die Mittelpunkte für tangierende Kreise bzgl. der Radien a+b und b bewegen sich auf elliptischen Kurven mit den Brennpunkten F1 und F2.

Abstand der beiden Brennpunkte:


Die Ellipsenkonstruktion entsteht mittels der Brennpunkte F1 und F2 und der Brennstrahlsumme:



Fall 2: (Grenzfall)
Wenn der Brennpunkt F2 ins Unendliche abwandert, also einem „Kreis“ mit Krümmung Null entspräche, dann erhalten wir in diesem Beispiel die senkrechte Trennlinie, die beide inneren Kreise mit den Radien a und b voneinander trennt. Die Mittelpunkte für tangierende Kreise bzgl. des Radius b und der Trennlinie bewegen sich dann auf parabolischen Kurven mit dem Brennpunkt F1 und der Leitlinie, die durch den Punkt O geht. (O liegt nur in diesem speziellen Beispiel im Ursprung!!!)

Abstand zwischen Leitlinie und Brennpunkt F1:


Die Parabelkonstruktion entsteht dann mittels des Brennpunktes F1 und der Leitlinie und der Vorgabe:



Fall 3:
Sobald die Brennpunkte F2 und F3 der inneren Kreise betrachtet werden, dann bewegen sich die Mittelpunkte für tangierende Kreise bzgl. der Radien a und b auf hyperbolischen Kurven, deren Asymptoten durch den Punkt M0 gehen, der in der Mitte zwischen beiden Brennpunkten liegt.

Abstand der beiden Brennpunkte F1 und F3:


Die Hyperbelkonstruktion entsteht dann mittels Brennpunkte F1 und F3 und der Brennstrahldifferenz:




Sucht man also nach dem Mittelpunkt des "Zwillingskreises", dann ergibt sich dieser aus dem Schnittpunkt zwischen Ellipse und Parabel.

Sucht man dagegen nach dem Mittelpunkt des tangierenden Kreises, welcher an den drei Kreisradien a ; b ; a+b anliegt, dann ergibt sich dieser aus dem Schnittpunkt zwischen Ellipse und Hyperbel.

Gruß
Conny
.
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »

Die Fragestellung nach den gleichgroßen Radien der Archimedischen Zwillinge ist mit den betrachteten Kegelschnittkurven Parabel, Ellipse oder auch Kreis und Hyperbel immer noch unbeantwortet. Es ist lediglich aufgezeigt wie sie konstruiert werden können, wenn dafür vorausgehende arithmetische Berechnungen ausgeführt sind.
Ich zeige nun eine klassische Konstruktion, die auch ohne solche Vorberechnungen eine konkrete Parabel als angestrebten Punktekurve im Zugmodus erzeugt, auf der auch die gesuchten Mittelpunkte der Archimedischen Zwillinge liegen. Um die Stelle zu bestimmen, wo dieser konkret liegt, bedarf es einer weiteren Kurve für den Schnittpunkt.
Wie das hierfür erforderliche Kohärenz-System allein als Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten erzeugt wird, zeigt das folgende Bild. Die hier im Zugmodus bewegbaren Punkte sind C und V.
[attach]57002[/attach]

Beschreibung der klassischen Konstruktion:

Zuerst werden der schwarze Außenkreis k1 und der rote Innenkreis k2 mit Mittelpunkt C gezeichnet, der später zu einem Zugmodus-Punkt wird. Mit dem blauen Innenkreis k3 wird dann die verbliebene Lücke gefüllt. Im Punkt W wird ein Kreis k1 durch die Punkte F und gezeichnet. Von einem beliebig gewählten Punkt V aus, einem späterem Zugmodus-Punkt, wird eine Gerade g4= zum Punkt gezeichnet. Im Punkt wird eine grünes Halbrechteck mit dem zugehörigen Punkt gezeichnet. Die Punkte über und über V sind durch die Geraden und bestimmt, welche senkrecht auf der Geraden V stehen. Ihre konkrete Lage ist durch die Geraden und bestimmt, welche die Seiten-Geraden des grünen Halbrechtecks senkrecht schneiden. und sind Parabelpunkt. Wird Punkt V im Zugmodus bewegt, dann folgen die Punkte und auf der Parabel nach. Die klassische Konstruktion als Kohärenz-System funktioniert auch dann, wenn die Größen der Innenkreise k2 und k3 verändert werden, indem Punkt C im Zugmodus bewegt wird.
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