Matheolympiade

04.04.2023, 13:31	Bobby Fischer	Auf diesen Beitrag antworten »
Matheolympiade Meine Frage: Bei der 3. Stufe der Matheolympiade bin ich auf die Aufgabe 621036 gestoßen. Ähnlich wie in den Musterlösungen konnte ich die Aufgabe auch lösen. Bei den Korrekturbemerkungen habe ich gesehen, dass anscheinend viele Schüler die Aufgabe mithilfe von Determinanten gelöst haben. Vielleicht könnte jemand solch einen Lösungsweg skizzieren, da ich mir selbst nicht erschließen kann, wie das gehen soll. Meine Ideen: https://www.mathematik-olympiaden.de/aufgaben/62/3/A62103b.pdf
04.04.2023, 14:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, man kann die Lösungen der Diophantischen Gleichung $\begin{eqnarray} y^2-xy+2x^2=n \end{eqnarray}$ deuten als Gitterpunkte auf dem Kegelschnitt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\cdot A\cdot \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = n \end{eqnarray}$ mit symmetrischer Matrix $\begin{eqnarray} A =\begin{pmatrix}2 & -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Die Determinante dieser Matrix bestimmt den Typ des Kegelschnitts: $\begin{eqnarray} \det(A)<0 \end{eqnarray}$ heißt Hyperbel, $\begin{eqnarray} \det(A)=0 \end{eqnarray}$ Parabel und $\begin{eqnarray} \det(A)>0 \end{eqnarray}$ Ellipse. Im vorliegenden Fall trifft letzteres zu, denn es ist ja $\begin{eqnarray} \det(A) = \frac{7}{4} > 0 \end{eqnarray}$ . Auf einer Ellipse können nun ihrer beschränkten Ausdehnung wegen nur endlich viele Gitterpunkte liegen, damit wäre a) schon mal erledigt - vielleicht war das mit "Determinante" gemeint. Für $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ sieht diese Ellipse so aus: Meine Lösung zu a) wäre allerdings eher die: Die Umformungen der Gleichung zu $\begin{eqnarray} (2y-x)^2 + 7x^2 = 4n \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} (4x-y)^2 + 7y^2 = 8n \end{eqnarray}$ ergieben die notwendigen Bedingungen $\begin{eqnarray} \|x\|\leq \sqrt{\frac{4n}{7}} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \|y\|\leq \sqrt{\frac{8n}{7}} \end{eqnarray}$ . Es gibt nur endlich viele Gitterpunkte $\begin{eqnarray} \left(x,y\right) \end{eqnarray}$ , die diese beiden Ungleichungen erfüllen, daher sicher auch nur endlich viele Lösungen der Diophantischen Gleichung für festes $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Bei den Teilaufgaben b) und c) sehe ich überdies wenig nutzbringendes der Matrix-Betrachtung.

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