Reihe Konvergenz untersuchen

05.04.2023, 09:04

HoschiHosch

Reihe Konvergenz untersuchen

Meine Frage:
Hallo,

ich möchte folgende Reihe auf Konvergenz / Divergenz untersuchen und wollte fragen, ob mein Herangehen korrekt ist:

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n+4}{n^2-3n+1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mich hat die Reihe an die harmonische Reihe erinnert und meine Vermutung ist, dass hier eine Majorante der harmonischen Reihe vorliegt.
$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n+4}{n^2-3n+1} \geq \sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{n^2-3n+1} =<br /> \sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n - 3 +\frac{1}{n}} \geq =\sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Für n größer 2 haben sind alle Summanden größer als die Summanden der harmonischen Reihe, daher divgiert die Reihe nach dem Majorantenkriterium.

05.04.2023, 09:22

klauss

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RE: Reihe Konvergenz untersuchen
Mir würde folgende Abschätzung ganz gut gefallen:

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n+4}{n^2-3n+1} \geq \sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n+1}{n^2-3n+1} \geq \sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n+1}{n^2+2n+1} \end{eqnarray*}$

05.04.2023, 09:46

HoschiHosch

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RE: Reihe Konvergenz untersuchen

Zitat:

Original von klauss
Mir würde folgende Abschätzung ganz gut gefallen:

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n+4}{n^2-3n+1} \geq \sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n+1}{n^2-3n+1} \geq \sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n+1}{n^2+2n+1} \end{eqnarray*}$

Danke für die schnelle Antwort.
Ok, also zerlege ich das Polynom im Nennner in Linearfaktoren und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n+1}{n^2+2n+1} = \sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n+1}{(n+1)^2} = \sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n+1} = - 1 + \sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} \end{eqnarray*}$

So etwa ?

05.04.2023, 10:11

klauss

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RE: Reihe Konvergenz untersuchen
Das sollte durchgehen. Oder alternativ entspricht der Unterschied nur der Indexverschiebung
$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n} \end{eqnarray*}$
die auf die Divergenz keinen Einfluß hat.

05.04.2023, 10:28

HoschiHosch

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qed

Herzlichen Dank !

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