Quadrieren? Wann ist es erlaubt?

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Annasüß Auf diesen Beitrag antworten »
Quadrieren? Wann ist es erlaubt?
Gibt es eine allgemeine Merkregel, wann das "Quadrieren" als Äquivalenzumfomung erlaubt ist?

Wenn man quadiert, bekommt man mehr Lösungen dazu, wieso darf man aber dann zum Beispiel quadrieren?
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadrieren? Wann ist es erlaubt?
Erlaubt ist es immer, man muss nur das Ergebnis überprüfen, weil es zu Scheinlösungen
kommen kann.
Quadrieren ist KEINE Äquivalenzumformung! Das macht es je gerade problematisch.

Zitat:
Wenn man x=3 quadiert, bekommt man mehr Lösungen dazu

Wie meinst du das?

3^2 = 9 und nichts anderes
Wie kommst du darauf? Wo hast du deine Behauptung her?

Deine Gleichung hat keine Lösung:

x-1= x
-1= 0 (Widerspruch)

L = {}

Ich glaube, du bringst da etwas durcheinander.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ausführliche Erklärung.

Eine Funktion mit vermittelt eine Äquivalenzumformung auf der Grundmenge wenn für alle Terme mit in liegenden Werten gilt

(man darf in beide Richtungen schließen)

Eine Funktion vermittelt genau dann eine Äquivalenzumformung, wenn sie auf ihrem Definitionsbereich injektiv ist. Eine streng monotone Funktion ist injektiv.

In der Physik rechnet man oftmals mit nichtnegativen Größen. Das Quadrieren



ist eine Äquivalenzumformung auf der Grundmenge der nichtnegativen reellen Zahlen. Denn sie ist streng monoton steigend. Es ist hierfür zu bestätigen, dass jedes und jedes die Ungleichung



erfüllen. Hierzu unternimmt man die äquivalente Umformung



Die letzte Ungleichung ist unter den Voraussetzungen und ersichtlich erfüllt.
Annasüß Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von adiutor62
Erlaubt ist es immer, man muss nur das Ergebnis überprüfen, weil es zu Scheinlösungen
kommen kann.
Quadrieren ist KEINE Äquivalenzumformung! Das macht es je gerade problematisch.

Zitat:
Wenn man x=3 quadiert, bekommt man mehr Lösungen dazu

Wie meinst du das?

3^2 = 9 und nichts anderes
Wie kommst du darauf? Wo hast du deine Behauptung her?

Deine Gleichung hat keine Lösung:

x-1= x
-1= 0 (Widerspruch)

L = {}

Ich glaube, du bringst da etwas durcheinander.


In deinem Beispiel wäre auch eine Lösung. Somit wäre nicht nur sondern auch eine Lösung, was ich mit "mehr Lösungen dazu gekommen" gemeint habe. Und diese Lösung ist durch das Quadrieren dazu gekommen, somit wäre das Quadrieren für den Fall nicht erlaubt. Aber es muss eine Regelung geben, sodass das "Quadrieren" auch als Äquivalenzumformung zählen kann.

Zitat:
Original von Finn_
Ausführliche Erklärung.

Eine Funktion mit vermittelt eine Äquivalenzumformung auf der Grundmenge wenn für alle Terme mit in liegenden Werten gilt

(man darf in beide Richtungen schließen)

Eine Funktion vermittelt genau dann eine Äquivalenzumformung, wenn sie auf ihrem Definitionsbereich injektiv ist. Eine streng monotone Funktion ist injektiv.

In der Physik rechnet man oftmals mit nichtnegativen Größen. Das Quadrieren



ist eine Äquivalenzumformung auf der Grundmenge der nichtnegativen reellen Zahlen. Denn sie ist streng monoton steigend. Es ist hierfür zu bestätigen, dass jedes und jedes die Ungleichung



erfüllen. Hierzu unternimmt man die äquivalente Umformung



Die letzte Ungleichung ist unter den Voraussetzungen und ersichtlich erfüllt.


Somit ist das Quadrieren eine Äquivalenzumfomung, wenn der Definitonsbereich nur positive Werte annehmen darf, also wäre das auch der Grund, warum man quadrieren darf, weil der Radikand hier stets positiv sein muss? Somit schaut man sich nicht nur das "x" an, sondern die komplette "linke" und "rechte" Seite und überprüft, ob dieser Teil negativ werden kann, falls das der Fall ist, darf man nicht quadieren. Ist das richtig so?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Man unternimmt beim Argumentieren nicht nur Äquivalenzumformungen. Folgerungen spielen auch eine Rolle. Die Folgerung



ist allgemeingültig, ohne dass injektiv sein müsste. Für ein beliebiges findet sich daher auch schon ohne tiefergründiges Nachdenken die Folgerung



Ergo gilt für jedes

Folgerungen sind auch zum Lösen von Gleichungen dienlich. Sie können allerdings die Lösungsmenge vergrößern, es kann wie gesagt zu Scheinlösungen kommen. Das ist nicht weiter schlimm: Man kann die Scheinlösungen herausfiltern, indem alle als Lösung infrage kommenden Zahlen nochmals in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden.
Annasüß Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Finn_
Man unternimmt beim Argumentieren nicht nur Äquivalenzumformungen. Folgerungen spielen auch eine Rolle. Die Folgerung



ist allgemeingültig, ohne dass injektiv sein müsste. Für ein beliebiges findet sich daher auch schon ohne tiefergründiges Nachdenken die Folgerung



Ergo gilt für jedes

Folgerungen sind auch zum Lösen von Gleichungen dienlich. Sie können allerdings die Lösungsmenge vergrößern, es kann wie gesagt zu Scheinlösungen kommen. Das ist nicht weiter schlimm: Man kann die Scheinlösungen herausfiltern, indem alle als Lösung infrage kommenden Zahlen nochmals in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden.


Das verstehe ich nicht. Mir ist schon klar, dass die Gleichung nicht lösbar ist. Mir geht's um das Quadrieren. Kannst du bitte auf meine Frage im letzten Beitrag eingehen.

Somit schaut man sich nicht nur das "x" an, sondern die komplette "linke" und "rechte" Seite und überprüft, ob dieser Teil negativ werden kann, falls das der Fall ist, darf man nicht quadieren. Ist das richtig so? Oder anders gefragt, wenn das der Fall ist, dann darf man Quadrieren ohne Probleme. Als Beispiel kann man wieder nehmen, wenn hier jetzt als Voraussetzung gilt, dass . Dann darf ja quadrieren, weil die Scheinlösung durch die Voraussetzung ja wieder wegfällt.
 
 
Annasüß Auf diesen Beitrag antworten »

Hat sich geklärt, hab einen Beitrag von HAL9000 gefunden, wo er das mal erklärt hatte, in einem Beitrag.

Danke dir für deine Zeit. Und schönes Wochenende. Wink
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Der Faden Quadrieren vom 27. September 2022, nehme ich an.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Festlegung, was eine Äquivalenzumformung sei, war auch zu eng gefasst. My bad.

HAL bringt es in kurzen Worten am besten auf den Punkt. Für die Nachwelt nochmals die formalisierte Fassung.

Es seien Terme, die unter jeder Belegung der in ihnen vorkommenden Variablen ausschließlich Werte in irgendeiner Menge annehmen. Sofern eine injektive Funktion ist, besteht die Äquivalenzumformung



Die Grundmenge ist hier nicht mehr explizit aufgeführt. Sie gibt darüber Auskunft, mit welchen Zahlen die Variablen denn eigentlich belegt werden fürfen.

Beispiel. Es sei und bezüglich der Grundmenge womit gemeint ist, dass die Variable mit jeder reellen Zahl belegt werden darf. (Jedes Vorkommen der Variable in der Gleichung bzw. Aussageform ist natürlich mit derselben Zahl zu belegen.) Obwohl das Quadrieren auf der Grundmenge nicht injektiv ist, besteht trotzdem die äquivalente Umformung



denn nehmen lediglich nichtnegative Werte an.
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