Integrationsknacks

12.04.2023, 10:07	punktlandung3	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationsknacks Meine Frage: Guten Tag, das ist nur eine Standardaufgabe aber der Fehler darin ist nicht ersichtlich: Warum kann für $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\frac{2}{3} \pi} \! \sin(x) \cos(x)^{2} \, dx \end{eqnarray}$ nicht nach $\begin{eqnarray} \cos(x)^{2} \end{eqnarray}$ substituiert werden? Verzeiht wenn die Frage schon einmal aufkam - so weit ich weiß nicht von mir. Meine Ideen: Richtig ist, nur $\begin{eqnarray} d\left(\cos(x)\right) \end{eqnarray}$ zu verwenden, doch mit dem Quadrat entsteht auch ein Ergebnis, warum sollte das falsch sein: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\frac{2}{3} \pi} \! \sin(x) \cos(x)^{2} \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{2}{3} \pi} \! \cos(x)\, d\left(\cos(x)^{2}\right) \end{eqnarray}$ und mit $\begin{eqnarray} u = \cos(x) \end{eqnarray}$ was $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ entspricht und $\begin{eqnarray} d\left(\cos(x)^{2}\right)= du\cdot 2\cos(x) \end{eqnarray}$ , ergibt es $\begin{eqnarray} =-\int_{1}^{- \frac{1}{2}} \! \cos(x)^{2}\, d\left(\cos(x)\right) \end{eqnarray}$ was in etwa "der richtigen Lösung" entspricht, nur falsch.
12.04.2023, 10:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrationsknacks Ok, du willst $\begin{eqnarray} u = \cos^2(x) \end{eqnarray}$ substituieren. Dann ist $\begin{eqnarray} \dd u = -2\sin(x)\cos(x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ , aber das Problem ist die Darstellung des verbleibenden Integranden $\begin{eqnarray} \cos(x) \end{eqnarray}$ mittels $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \cos(x)= \sqrt{u} \end{eqnarray}$ stimmt nämlich nur im Intervall $\begin{eqnarray} 0\leq x\leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ , für das Restintervall $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2}<x\leq \frac{2}{3}\pi \end{eqnarray}$ gilt wegen dort $\begin{eqnarray} \cos(x)<0 \end{eqnarray}$ hingegen $\begin{eqnarray} \cos(x)=-\sqrt{u} \end{eqnarray}$ . Und das stimmt dann auch: $\begin{eqnarray} \int\limits_0^{\frac{2}{3}\pi} \sin(x)\cos^2(x) ~ \dd x &=& \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)\cos^2(x) ~ \dd x ~+~ \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{2}{3}\pi} \sin(x)\cos^2(x) ~ \dd x\\ &=& -\frac{1}{2} \int\limits_1^0 \sqrt{u} ~ \dd u + \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{1}{4}} \sqrt{u} ~ \dd u = -\frac{1}{2}\left[ \frac{2}{3}u\sqrt{u}\right]_{u=1}^0 + \frac{1}{2}\left[ \frac{2}{3}u\sqrt{u}\right]_{u=0}^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \end{eqnarray}$ Ist natürlich der Umständlichkeit wegen eher nicht zu empfehlen.
12.04.2023, 11:22	punktlandung3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrationsknacks Ja das ist wirklich nicht zu empfehlen. Gibt es schon Uhren die von 0 bis 2 pi laufen?? Oder Mathe-Textaufgaben mit 0~60 Trigonometrie.
12.04.2023, 12:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es schon Fragesteller, die ihre Threads nicht grundsätzlich mit bescheuerten Anmerkungen (am Thema komplett vorbei) ausklingen lassen? Ja, die gibt es, aber es ist nicht jedem gegeben.

1

Verwandte Themen