e hoch Pi > Pi hoch e

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Martello-App Auf diesen Beitrag antworten »
e hoch Pi > Pi hoch e
Meine Frage:
Ohne TR kann ich zeigen , dass 2.5^3 > 3^2.5 ! Kann ich daraus folgern, dass e hoch Pi > Pi hoch e ist ?

Meine Ideen:
Die Funktion x^3 - 3^x ist für x = 2 negativ ( - 1 ), für x = 2.5 positiv und für x = 3 null. Somit ist es auch für 2.8 positiv.
Weil 2.8 eine Annäherung für e ist und 3 eine Annäherung für Pi ist ... und eine genaue Anpassung ...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Für positiv reelle ist genau dann wenn .

Schauen wir uns dazu die Funktion mit etwas genauer an: Mit Darstellung bekommt man schnell und damit für sowie für . Damit liegt bei ein globales Maximum der Funktion vor, somit ist tatsächlich für alle , und Gleichheit nur für selbst. D.h., es gilt für alle positiv reellen , speziell auch für .

P.S.: Auch ohne TR...
Martello-App Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt - gratuliere !

Es geht aber darum, auf Gymnasialstufe via Annäherung ( von 2.5 über 2.8 ) die Ungleichung zu lösen
und wenn 2.8^3 > 3^2.8 gilt so auch die e-Pi-Ungleichung.


Ein eleganter Beweis stammt übrigens aus dem Jahre 1878 :
Die Gerade y = x + 1 berührt die Kurve ex im Punkt ( 0 | 1 ) und weil y = ex konvex ist, gilt: e^x > x + 1 für x ungleich 0.
Setzen wir x = e/Pi - 1 , so erhalten wir e hoch Pi/e - 1 > Pi/e
Multiplizieren wir beide Seiten mit e und potenzieren anschliessend beide Seiten mit e, so folgt e^Pi > Pi^e .

Quelle : Honsberger , Mathematical Morsels , Dolciani mathematical exposure, USA 1978 ( Problem 26 )

Zusatzfrage Welche natürliche Zahl liegt zwischen x^e und e^x ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Martello-App
Es geht aber darum, auf Gymnasialstufe via Annäherung ( von 2.5 über 2.8 ) die Ungleichung zu lösen
und wenn 2.8^3 > 3^2.8 gilt so auch die e-Pi-Ungleichung.

Deine Argumentation ist von vorn bis hinten wacklig, um nicht zu sagen Pfusch. Daher wollte ich oben nichts dazu sagen, aber da du es jetzt anscheinend hören willst:

Zitat:
Original von Martello-App
Die Funktion x^3 - 3^x ist für x = 2 negativ ( - 1 ), für x = 2.5 positiv und für x = 3 null. Somit ist es auch für 2.8 positiv.

Woraus leitest du das ab? Du hast keinerlei belastbare Untersuchungen zum Verlauf der Funktion durchgeführt, aus der du sowas schließen könntest.

Zitat:
Original von Martello-App
Weil 2.8 eine Annäherung für e ist und 3 eine Annäherung für Pi ist ... und eine genaue Anpassung ...

Hier verlierst du dich komplett in belanglosen, beweistechnisch komplett irrelevantem Geschwafel.
Martello-App Auf diesen Beitrag antworten »

g: grosse Zahl , k: kleine Zahl

wenn k^g > g^k für g > k gilt, so gilt auch (k-a)^(g+b) > (g+b)^(k-a) für alle positiven a,b mit b >a
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Martello-App
g: grosse Zahl , k: kleine Zahl

wenn k^g > g^k für g > k gilt, so gilt auch (k-a)^(g+b) > (g+b)^(k-a) für alle positiven a,b mit b >a

Beweis? So geschrieben ist das nur eine Behauptung.

EDÍT: Und zudem eine falsche. Betrachten wir ausgehend von deinem mal und und wählen , dann behauptest du allen Ernstes, dass ist?

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Du verhedderst dich da n ein Gestrüpp aus vagen - und wie gesehen z.T. falschen - Ungleichungen und meinst damit die Behauptung einfacher zeigen zu können als mit dem klar strukturierten

Zitat:
Original von Martello-App
Die Gerade y = x + 1 berührt die Kurve ex im Punkt ( 0 | 1 ) und weil y = ex konvex ist, gilt: e^x > x + 1 für x ungleich 0.
Setzen wir x = e/Pi - 1 , so erhalten wir e hoch Pi/e - 1 > Pi/e
Multiplizieren wir beide Seiten mit e und potenzieren anschliessend beide Seiten mit e, so folgt e^Pi > Pi^e .

oder alternativ auch meinem Weg oben? Ich denke nicht, dass das was wird.
 
 
Martello-App Auf diesen Beitrag antworten »

Zugegeben, das war unpräzis ! Weil 2^3 < 3^2 ist , darf k - a natürlich nicht zu klein werden !
Das ist aber in unserem Fall gewährleistet, denn k - a ist grösser als 2.7 ( konkret 2.718 28 ... ) und g + b ist 3.141 59 ... .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Martello-App
Zugegeben, das war unpräzis ! Weil 2^3 < 3^2 ist , darf k - a natürlich nicht zu klein werden !

"Natürlich"... Dann bastle nochmal eine Ausnahmeregel, und eine Ausnahmeregel von der Ausnahmeregel, und eine Ausnahmeregel von ... smile
Martello-App Auf diesen Beitrag antworten »

Danke - es war lustig mit Dir !
Aber lass uns nun diesen Dialog beenden ! ok !
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was man natürlich sagen kann, ist, daß, wenn ist, diese Ungleichung erhalten bleibt, wenn man und hinreichend wenig ändert (im Kontext darf man als positiv reell annehmen). Das ist ein typisches Stetigkeitsargument. Wenn es aber nun um konkrete Zahlen geht, wie weit also "hinreichend wenig" tatsächlich reicht, wird einem diese qualitative Aussage nicht mehr viel helfen. Irgendwo wird man rechnen müssen.
Martello-App Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis - dem ist natürlich so !

Hier geht es konkret um den "Schritt" von 2.8 zu e und 3 zu Pi.

Das heisst: k = 2.8 wird um ca 0.6 verkleinert und g = 3 um ca 1.14 vergrössert.
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