Formeln um Differentialgleichungen exakt zu machen

13.04.2023, 19:23	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
Formeln um Differentialgleichungen exakt zu machen Angenommen wir haben eine Differentialgleichung vom Typ $\begin{eqnarray} P(x,y)\dd x + Q(x,y)\dd y=0 \end{eqnarray}$ dann ist diese exakt, wenn $\begin{eqnarray} P_y=Q_x \end{eqnarray}$ gilt. Wenn das nicht gilt, benötigt man einen Integrierenden Faktor M(x,y) mit dem man die Gleichung multipliziert, damit sie exakt wird. D.h. es gilt dann: $\begin{eqnarray} \frac{\partial \left(M\cdot P\right)}{\partial y} = \frac{\partial \left(M\cdot Q\right)}{\partial x} \end{eqnarray}$ Wie ich aber erst vor kurzem in einem Buch entdeckt habe, gibt es unter verschiedenen Voraussetzungen jeweils eine Methode, den Integrierenden Faktor M zu finden. Ich werde im folgenden drei davon präsentieren und ich möchte wissen, wie man darauf kommt, bzw. diese Regeln herleiten kann. Methode 1: Angenommen es gelte $\begin{eqnarray} G(x)=\frac{P_y-Q_x}{Q} \end{eqnarray}$ , was heißen soll, daß dieser Bruch nur noch von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ abhängt und nicht mehr von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ , dann ist der Integrierende Faktor $\begin{eqnarray} M(x) = \exp\left(\int G(x)\dd x\right) \end{eqnarray}$ gemäß dem, was ich hier gelesen habe. Methode 2: Gilt stattdessen $\begin{eqnarray} G(y)=\frac{Q_x-P_y}{P} \end{eqnarray}$ , was in diesem Fall heißen soll, daß dieser Bruch nur noch von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ abhängt, dann haben wir $\begin{eqnarray} M(y) = \exp\left(\int G(y)\dd y\right) \end{eqnarray}$ als Integrierenden Faktor. Methode3: Gilt stattdessen $\begin{eqnarray} G(x+y)=\frac{Q_x-P_y}{P-Q} \end{eqnarray}$ , dann wüßte ich gerne, wie man den Integrierenden Faktor hier bestimmt.
14.04.2023, 03:22	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Albert Adu-Sackey, Gabriel Obed Fosu, Buckman Akuffo: Gallery of integrating factors for non-linear first-order differential equations. In: Engineering and Applied Science Letters. Band 4, 2021, Nr. 4, S. 17 bis 25. doi:10.30538/psrp-easl2021.0077 Wirf mal einen Blick in den Artikel, ist Open Access.
14.04.2023, 10:19	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
@Finn Herzlichen Dank für die tollen Hinweise!

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