Abzählbarkeit aller algebraischen Zahlen (Beweis)

14.04.2023, 04:10	Alexxx95	Auf diesen Beitrag antworten »
Abzählbarkeit aller algebraischen Zahlen (Beweis) Meine Frage: Hallo, Wie kommen die in der Lösung auf (n^n+1 - 1) Polynome? Und warum muss die Null ausgeschlossen werden? (Siehe Anhang) Vielen Dank Mfg Meine Ideen: -
14.04.2023, 08:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für jeden der Koeffizienten $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ des Polynoms $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n a_kx^k \end{eqnarray}$ gibt es laut dieser Vorschrift genau $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Wahlmöglichkeiten (nämlich die Werte $\begin{eqnarray} b_1,\ldots,b_n \end{eqnarray}$ ). Das ergibt insgesamt genau $\begin{eqnarray} n^{n+1} \end{eqnarray}$ mögliche Tupel $\begin{eqnarray} \left(a_0,a_1,\ldots,a_n\right) \end{eqnarray}$ . Zu jedem dieser Tupel gehört ein Polynom höchstens $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -ten Grades. Jedes dieser Polynome hat nun maximal $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Nullstellen - mit einer wichtigen Ausnahme: Das Nullpolynom! Das Nullpolynom ist aber irrelevant bei der Betrachtung der algebraischen Zahlen, denn die sind ja so definiert, dass sie Nullstellen eines Polynoms vom Grad >0 sein müssen. Genau genommen werden hier immer noch viel zu viele Polynome angerechnet, z.B. die ganzen konstanten Nichtnullpolynome, oder nehmen wir im Fall $\begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}$ beispielsweise $\begin{eqnarray} x^3-x \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} -x^3+x \end{eqnarray}$ , die besitzen dieselben Nullstellen. Das ist aber nicht schlimm, denn die Polynomanzahl bzw. auch Nullstellenanzahl all dieser Polynome soll ja gar nicht genau berechnet werden, sondern es soll nur nachgewiesen werden, dass sie für festes $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ endlich ist. Und das wird durch diese Abschätzung $\begin{eqnarray} n^{n+1}-1 \end{eqnarray}$ erreicht.

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