Aussage prüfen - Abbildungen und Mengen

17.04.2023, 00:34	kongstrongkong	Auf diesen Beitrag antworten »
Aussage prüfen - Abbildungen und Mengen Meine Frage: Hi, ich soll die folgende Aufgabe lösen. [attach]56987[/attach] Meine Ideen: Die Formel "phi = {X_i -> X_(i+1) ODER negierung X_(i+2) \| i Element aus N}" bedeutet, dass für jedes Element "i" aus der Menge der natürlichen Zahlen "N" die Zuweisung entweder "X_i -> X_(i+1)" oder "X_i -> negierung X_(i+2)" sein muss. Die gegebene Zuweisung "J:{X_i \| i Element aus N} -> {0,1}, X_i -> i mod 2" weist jedem Literal "X_i" den Wert "i mod 2" zu, wobei "mod" den Modulo-Operator darstellt, der den Rest der Division von "i" durch 2 berechnet und entweder 0 oder 1 zurückgibt. Um zu überprüfen, ob die gegebene Zuweisung die Formel "phi" erfüllt, müssen wir zwei Fälle prüfen: Fall: "X_i -> X_(i+1)": Für diese Zuweisung bedeutet dies, dass "X_i" den gleichen Wert wie "X_(i+1)" haben sollte. Wenn wir die gegebene Zuweisung einsetzen, erhalten wir: "X_i" hat den Wert "i mod 2" und "X_(i+1)" hat den Wert "(i+1) mod 2". Es ist leicht zu erkennen, dass diese beiden Werte nicht immer gleich sind, da "i mod 2" und "(i+1) mod 2" unterschiedlich sein können. Also erfüllt die gegebene Zuweisung nicht die Bedingung "X_i -> X_(i+1)". Fall: "X_i -> negierung X_(i+2)": Für diese Zuweisung bedeutet dies, dass "X_i" den negierten Wert von "X_(i+2)" haben sollte. Wenn wir die gegebene Zuweisung einsetzen, erhalten wir: "X_i" hat den Wert "i mod 2" und "X_(i+2)" hat den Wert "(i+2) mod 2". Es ist leicht zu erkennen, dass diese beiden Werte nicht immer negiert gleich sind, da "i mod 2" und "(i+2) mod 2" unterschiedlich sein können. Also erfüllt die gegebene Zuweisung auch nicht die Bedingung "X_i -> negierung X_(i+2)". Da die gegebene Zuweisung weder die Bedingung "X_i -> X_(i+1)" noch "X_i -> negierung X_(i+2)" erfüllt, ist sie nicht passend für die Formel "phi = {X_i -> X_(i+1) ODER negierung X_(i+2) \| i Element aus N}". Stimmt das? Wenn nein bitte um richtige Lösung
17.04.2023, 03:05	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \mathfrak {I} \end{eqnarray}$ eigentlich kein $\begin{eqnarray} J, \end{eqnarray}$ sondern ein $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ in Fraktur. Es ist $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ keine Formel, sondern eine Menge von Formeln. Mit passend ist wohl gefragt, ob $\begin{eqnarray} \mathfrak I \end{eqnarray}$ die Formelmenge erfüllt. Man definiert metalogisch $\begin{eqnarray} (\mathfrak I\models\Phi)\iff \forall \varphi\in\Phi\colon (\mathfrak I\models\varphi). \end{eqnarray}$ Dementsprechend ist $\begin{eqnarray} (\mathfrak I\models\Phi)\iff \forall i\in\mathbb N\colon (\mathfrak I\models X_i\rightarrow X_{i+1}\land\lnot X_{i+2}). \end{eqnarray}$ Jetzt gilt es zu berücksichtigen, dass die Erfüllung rekursiv über den Formelaufbau definiert wurde. Damit ist die rechte Seite äquivalent zur metalogischen Aussage $\begin{eqnarray} \forall i\in\mathbb N\colon (\mathfrak I\models X_i)\rightarrow (\mathfrak I\models X_{i+1})\land \lnot (\mathfrak I\models X_{i+2}), \end{eqnarray}$ wobei die logischen Verknüpfungen jetzt die Bedeutung von Wahrheitsfunktionen haben. Man stellt prinzipiell kurzum für jedes $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ die Äquivalenz $\begin{eqnarray} (\mathfrak I\models X_{i+1})\iff \lnot (\mathfrak I\models X_i) \end{eqnarray}$ fest, und der Rest ist dann boolesche Algebra. Das heißt dann aber, dass $\begin{eqnarray} \mathfrak I\models X_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathfrak I\models X_{i+2} \end{eqnarray}$ äquivalent sind. Es genügt, ein $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ zu finden, für das die allquantifizierte Wahrheitsfunktion den Wert 0 liefert. Lediglich ein $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ einsetzen, die $\begin{eqnarray} \mathfrak I\models X_{i+c} \end{eqnarray}$ ausrechnen und einen Blick auf die Wahrheitstafeln der logischen Verknüpfungen werfen. Damit ist $\begin{eqnarray} \mathfrak I \end{eqnarray}$ als Gegenmodell identifiziert, also wohl nicht passend. Eine Fallunterscheidung ist dafür nicht erforderlich; und auch das weder noch wäre zu viel, denn ein Widerspruch entsteht bereits dann, wenn eine der Aussagen der Konjunktion bei wahrer Prämisse falsch ist.
17.04.2023, 18:14	kongstrongkong2	Auf diesen Beitrag antworten »
wahnsinnig gute antwort danke!

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