Mächtigkeit einer Gruppe ist Zweierpotenz

17.04.2023, 12:18

Malcang

Mächtigkeit einer Gruppe ist Zweierpotenz

Hallo zusammen,

Ich hänge gerade an dieser Aufgabe:
[attach]56989[/attach]

a und b habe ich gelöst, aber an c hänge ich fest.
Ich habe angenommen, die Mächtigkeit der Gruppe sei $\begin{eqnarray*} n. \end{eqnarray*}$ und habe die verknüpfungstafel aufgestellt.
Leider kann ich diese gerade nicht aufschreiben, da Smartphone.
Ich habe die Elemente benannt mit $\begin{eqnarray*} e, a_1, ..., a_{n-1} \end{eqnarray*}$ . Auf der hauptdiagonalen steht jeweils $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und da die Gruppe abelsch ist, betrachte ich nur die Einträge oberhalb der Hauptdiagonalen. Dort finde ich ja nun Zeilenweise die Elemente $\begin{eqnarray*} a_1, a_2, \dots, a_{n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e, a_1a_2, \dots, a_1a_{n-1} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich keine Argumentation. In jeder Zeile muss doch jedes Element der Gruppe genau einmal vorkommen. Das neutrale steht jeweils auf der Hauptdiagonalen.

Hm.... verwirrt

17.04.2023, 15:14

Elvis

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Wie viele Vektoren $\begin{eqnarray*} x_1b_1+... +x_nb_n \end{eqnarray*}$ für eine Basis $\begin{eqnarray*} \{b_1,...,b_n\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_i\in \{0, 1 \} \end{eqnarray*}$ gibt es?

17.04.2023, 15:22

Malcang

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Zitat:

Original von Elvis
Wie viele Vektoren $\begin{eqnarray*} x_1b_1+... +x_nb_n \end{eqnarray*}$ für eine Basis $\begin{eqnarray*} \{b_1,...,b_n\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_i\in \{0, 1 \} \end{eqnarray*}$ gibt es?

$\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ .
Ah ja ich verstehe. Ich hab nicht den Zusammenhang zum kurz vorher noch gezeigten Vektorraum gesehen.

Danke Elvis! Freude

17.04.2023, 15:29

HAL 9000

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Ja, man muss hier über die kleine gedankliche Hürde springen, dass die zunächst als Multiplikation formulierte Gruppenoperation ab b) dann die Vektorraum-Addition ist. Augenzwinkern

17.04.2023, 15:43

Elvis

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Tipp : Merke dir den Trick für später. Jeder endliche Körper ist ein Vektorraum über einem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p, p \end{eqnarray*}$ prim, hat also $\begin{eqnarray*} q=p^n \end{eqnarray*}$ Elemente, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Vektorraumdimension ist.

17.04.2023, 15:58

Malcang

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Das habe ich so wirklich noch nicht gesehen.

Danke euch beiden! smile

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