Gruppe und Normalteiler

17.04.2023, 17:54

Malcang

Gruppe und Normalteiler

Hallo mal wieder smile

Nun sitze ich an dieser Aufgabe:
[attach]56990[/attach]

Ich tue mir da schwer mit.
Bei a) ist der Hinweis mit dem Kommutator ja gegeben. Ich weiß, dass für festes $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} uvu^{-1}\in U \forall u\in U. \end{eqnarray*}$
Aber wie komme ich denn da nun weiter?

17.04.2023, 18:32

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} u(vu^{-1}v^{-1})=(uvu^{-1})v^{-1}\in U\cap V \end{eqnarray*}$ weil U, V Normalteiler.

17.04.2023, 20:04

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} u(vu^{-1}v^{-1})=(uvu^{-1})v^{-1}\in U\cap V \end{eqnarray*}$ weil U, V Normalteiler.

Also ist $\begin{eqnarray*} uvu^{ -1}v^{-1} = uv(vu)^{-1} = e \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} uv(vu)^{-1}(vu) = e(vu) = vu \Rightarrow uv = vu. \end{eqnarray*}$

Cool danke sehr Elvis smile

17.04.2023, 20:12

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hänge ich allerdings wieder mal bei der (b).
Ich tue mir deshalb schwer, weil ich ja vom Kreuzprodukt $\begin{eqnarray*} U\times V \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ abbilde. Zwei Elemente aus $\begin{eqnarray*} U\times V \end{eqnarray*}$ sind also $\begin{eqnarray*} (u_1,v_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (u_2,v_2) \end{eqnarray*}$ . Ich weiß aber ehrlich gesagt nicht den Ansatz, wie ich jetzt prüfen muss verwirrt

Sagen wir, die Abbildung heißt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Dann prüfe ich doch $\begin{eqnarray*} f( (u_1,v_1)\circ (u_2,v_2) ) = f((u_1,v_1)) \circ f((u_2,v_2)) \end{eqnarray*}$ , oder?
Ich bin auf dem Abstraktionslevel der Verknüpfungen nicht vertraut.

17.04.2023, 21:46

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Homomorphismus ist trivial $\begin{eqnarray*} u_1u_2v_1v_2=u_1v_1u_2v_2 \end{eqnarray*}$ nach a)

Warum injektiv?
Tipp: $\begin{eqnarray*} u_1v_1=u_2v_2\Rightarrow u_2^{-1}u_1=v_2v_1^{-1} \end{eqnarray*}$

19.04.2023, 08:26

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

bitte die späte Antwort zu entschuldigen, habe gestern nichts mathematisches geschafft.

Zitat:

Original von Elvis
Tipp: $\begin{eqnarray*} u_1v_1=u_2v_2\Rightarrow u_2^{-1}u_1=v_2v_1^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_2^{-1}u_1=v_2v_1^{-1} \Leftrightarrow (u_1u_2)^{-1} = (v_1v_2)^{-1} \Leftrightarrow u_1u_2 = v_1v_2 \end{eqnarray*}$ .
Hm, aber das ist noch nicht das Ende... verwirrt

Edit: Quatsch, das stimmt gar nicht, dafür fehlen zwei weitere $\begin{eqnarray*} ^{-1} \end{eqnarray*}$ .
Ich sehe deinen Tipp ein, aber die Richtung habe ich noch nicht erkannt. Es ist möglicherweise auch noch zu früh Big Laugh

19.04.2023, 10:21

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Tipp kommt zustande, indem ich die Gleichung von links mit dem Inversen von u_2 und von rechts mit dem Inversen von v_1 multipliziere.
Nach meinem Tipp sind beide Seiten in $\begin{eqnarray*} U\cap V \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} u_2^{-1}u_1=e \end{eqnarray*}$ . Das Inverse ist eindeutig, also... Genau so für v.

19.04.2023, 21:20

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Elvis für deine geduldige Mühe. Ich bin derzeit leider gesundheitlich angeschlagen und kann mich nicht intensiv damit befassen. Daher bitte nicht übelnehmen, wenn ich mich hier vorerst nochmal ausklinke.

Neue Frage »

Antworten »

Gruppe und Normalteiler

Verwandte Themen