Mein Beweis, dass {0, 1}^0 = {{}}

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Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Beweis, dass {0, 1}^0 = {{}}
Und wieder wage ich mich an eine delikate Aufgabe (für mich und meine Fähigkeiten). Bei den rotmarkierten Stellen bin ich mir unsicher. Ich bitte auch um Hinweise für formale Kleinigkeiten, die falsch/ungenau wären.

Insbesondere zur Sache mit der leeren Wahrheit: Ich gehe von der Definition aus, wonach f eine Menge geordneter Paare (Funktion) sei gdw. wenn für jedes a (dom)f mind. ein b existiert mit (a, b) f und wenn (a, b) f und (a, c) f, dann b = c. Wenn nun dom(f) leer ist, wie im Fall, dann sind die beiden Implikationen der rechten Seite immer erfüllt, weil deren Antecedens falsch ist, so dass also f eine Menge geordneter Paare ist, die hier nur die leere Menge sein kann und diese wiederum kann deshalb in der Menge des kart. Produkts sein. Andersherum, wenn also die Zielmenge leer ist und die Ausgangsmenge nicht-leer, dann ist die erste Implikation der rechten Seite falsch und daher f keine Menge geordneter Paare und daher wäre hier das kart. Produkt die leere Menge selbst. Ich hoffe, dieses Verständnis ist richtig.

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Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mengen und Zahlen gleichsetzen ist nicht richtig. Warum du mit dem Begriff "leere Wahrheit" auch wieder eine überflüssige Verbindung zu einer abstrusen Art von Logik herzustellen versucht hast, bleibt dein Geheimnis.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Beachte bitte, dass und nicht identisch sind, sondern lediglich gleich(artig) im Sinne von isomorph. Es liegt hier ein kanonischer Isomorphismus vor, der jedes Paar in eine Abbildung umwandelt. Man setzt

bzw.

Die Umkehrabbildung ist



Was ist mit isomorph gemeint? Mir fällt zunächst die Gleichmächtigkeit ein. Die diesbezüglichen Isomorphismen sind schlicht die Bijektionen. Wir rechnen nach. Es ergibt sich



und



für jedes also
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Mengen und Zahlen gleichsetzen ist nicht richtig.


Sehe ich aber immer wieder und Zahlen können als Mengen gewisser Kardinalität interpretiert werden.

Zitat:
Warum du mit dem Begriff "leere Wahrheit" auch wieder eine überflüssige Verbindung zu einer abstrusen Art von Logik herzustellen versucht hast, bleibt dein Geheimnis.


Wie würdest du denn begründen, dass f: eine Funktion ist, deren Menge (Graph) die leere Menge ist (die dadurch in der Menge des kart. Produkts sein kann), während f: gar keine Menge wäre, so dass das kart. Produkt leer bliebe?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

a) Wenn man in der Grundschule endliche Kardinalzahlen und natürliche Zahlen durcheinander bringt, darf man sich nicht wundern, dass Kinder nichts von Mathematik verstehen.
(Aristoteles war ein ganz schlechter Mathematiker.)
b) Pathologischer Unsinn interessiert niemanden, deshalb würde ich ihn nicht begründen wollen.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre zu bemerken, dass das Prinzip der leeren Warheit auf der Regel ex falso quodlibet beruht. In der Typentheorie stimmt Konstruierbarkeit der Funktion wobei 0 der leere Typ, irgendein Typ, sogar mit ex falso quodlibet überein. Es handelt sich um das leere Pattern Matching. So gewährt Coq die Konstruktion:

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
Definition f: forall (A: Prop), False -> A
  := fun A => fun x => match x with end.

Theorem ex_falso_quodlibet (A: Prop): False -> A.
Proof.
  exact (f A).
Qed.
Es gibt nun Logiken, bspw. die Minimallogik, wo ex falso quodlibet nicht verfügbar ist. Zu ihr sollte eine Typentheorie gehören, wo der Typ unbewohnt ist, also keine leere Funktion konstruierbar ist, das leere Pattern Matching nicht durchgeführt werden kann.
 
 
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt sollte es, wenn auch verenglischt, richtig gut sein, so gut, dass ich einmal fragen will, ob - wenn es in einer Uni-Klausur als Beweis präsentiert würde und es die einzige Aufgabe wäre - ich bestehen, gut bestehen oder durchfallen würde.

[attach]57003[/attach]
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Soll sein, muss als Relation eine Teilmenge von sein. Die einzige ist die leere Menge selbst. Da die Definitionsmenge leer ist, ordnet jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Zielmenge zu. Ja, wegen leerer Wahrheit.

Soll sein, muss als Relation eine Teilmenge von sein. Die einzige ist die leere Menge selbst. Sofern nichtleer ist, müsste jedem allerdings ein zugeordnet werden, was widersprüchlich ist.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das werde ich gleich mal so in meinen Mengenlehrenotizen notieren, weil es irgendwie eleganter wirkt als meine Vorgehensweise.
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