Spielerei mit Potenzen

19.04.2023, 12:40

TVorwerk

Spielerei mit Potenzen

Meine Frage:
Hallo,
ich bin Thomas aus Hamburg und ich suche (aber nur aus Spielerei) 4 natürliche Zahlen die folgende Bedingung erfüllen
a, b, n, m sind ganze Zahlen größer 1
P1 = a^n und P2 = b^m und die Differenz zwischen P1und P2 also D = P1 ? P2 soll gleich 6 sein oder 14, 42 oder 50 kann die alle nicht finden :-(
Ist aber wie gesagt nur eine Spielerei ohne Bedeutung.
Vielleicht reizt diese Aufgabe noch jemanden außer mir?
Viele liebe Grüße
aus Hamburg
Thomas

Beispiele:
1 = 9 ? 8 = 3 * 3 * - 2 * 2 * 2
2 = 27 ? 25 = 3 * 3 * 3 - 5 * 5
3 = 128 ? 125 = 2 hoch 7 - 5 * 5 * 5
4 = 8 ? 4 = 2 * 2 * 2 - 2 * 2
5 = 9 ? 4 = 3 * 3 - 2 * 2
6 = ?
7 = 16 ? 9 = 4 * 4 - 3 * 3
8 = 16 ? 8 = 4 * 4 - 2 * 2 * 2
9 = 25 ? 16 = 5 * 5 - 4 * 4
10 = 2197 ? 2187 = 13 hoch 3 - 3 hoch 7
11 = 36 ? 25 = 6 * 6 - 5 * 5
12 = 16 ? 4 = 4 * 4 - 2 * 2
13 = 49 ? 36 = 7 * 7 - 6 * 6
14 = ?
Die ungeraden Zahlen lasse ich ab hier mal aus, da man meiner Meinung nach ein Muster erkennen kann
16 = 25 - 9
18 = 27 - 9
20 = 36 - 16
22 = 49 - 27
24 = 49 - 25
26 = 6436369 - 6436343 = 2537 hoch 2 - 23 hoch 5
28 = 64 - 36
30 = 6889 - 6859
32 = 64 - 32
34 = ?
36 = 100 - 64
38 = 1369 - 1331 = 37 hoch 2 - 11 hoch 3
40 = 49 - 9
42 =?
44 = 125 - 81 = 5 * 5 * 5 - 9 * 9
46 = 289 - 243 = 17 * 17 - 3 hoch 5
48 = 64 - 16 = 8 * 8 - 4 * 4
50 = ?

Meine Ideen:
leider habe ich keine Idee : -(

20.04.2023, 13:06

willyengland

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siehe:
https://oeis.org/A074981

"This is a famous hard problem and the terms shown are only conjectured values."

20.04.2023, 14:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von TVorwerk
Die ungeraden Zahlen lasse ich ab hier mal aus, da man meiner Meinung nach ein Muster erkennen kann

So ist es:

$\begin{eqnarray*} 2k+1 = (k+1)^2-k^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4k = (2k+1)^2-(2k-1)^2 \end{eqnarray*}$

D.h. es sind dann eh nur noch $\begin{eqnarray*} n=4k+2 \end{eqnarray*}$ bzw. anders formuliert $\begin{eqnarray*} n\equiv 2\bmod 4 \end{eqnarray*}$ untersuchenswert.

Interessant die Aussage in dem von willyengland genannten Link, dass die Nicht-Darstellbarkeit der genannten Differenzen 6,14,... bisher nicht nachgewiesen wurde, sondern "nur" für Potenzwerte $\begin{eqnarray*} <10^{27} \end{eqnarray*}$ überprüft wurde.

Offenbar hat man hier schon ganz schön die Computer heißlaufen lassen - schön, dann muss man das nicht selbst tun. Und für einen sauberen Beweis, dass es wirklich nicht geht für gewisse Werte $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , wird man wohl Wiles-Qualitäten benötigen. Augenzwinkern

21.04.2023, 08:42

Martello-App

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in deiner Liste liesse sich noch -2^2 + 3^3 aufführen schliesslich stecken wir im 23

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