Topologische Räume

20.04.2023, 20:01	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
Topologische Räume Es seien (X ,T) und (Y,T) topologische Räume, und $\begin{eqnarray} \prod \end{eqnarray}$ X : (X x Y, T $\begin{eqnarray} _{X x Y}) \end{eqnarray}$ -> (X,T) $\begin{eqnarray} \prod \end{eqnarray}$ X : (X x Y, T $\begin{eqnarray} _{X x Y}) \end{eqnarray}$ -> (Y,T') Sei E $\begin{eqnarray} _{n} \end{eqnarray}$ die euklidische Topologie auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{n} \end{eqnarray}$ . Nehmen Sie an, dass (X,T) = (Y,T') = ( $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , E $\begin{eqnarray} _{1} \end{eqnarray}$ ). Zeigen Sie die Identität Id : (X x Y, T $\begin{eqnarray} _{X x Y} \end{eqnarray}$ ) -> ( $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{2} \end{eqnarray}$ , E $\begin{eqnarray} _{2} \end{eqnarray}$ ) (x,y) -> (x,y) ein Homöomorphismus ist. Mir ist zunächst klar, das ein Homöomorphismus eine Abbildung ist und deren Umkehrung ebenfalls stetig ist. Ich habe nun heute eine Studentin nochmal nach der euklidischen Topologie gefragt. Sie sagte dann, dass das diese sogenannten Bälle seien. Klar ist mir zunächst dass die euklidische Topologie eine Abstandsfunktion ist. Unter den Bällen verstehe ich eben den Abstand z.b. von einem Mittelpunkt bis zum Rand. Zum Beispiel eine epsilon Umgebung. Sie meinte dass sie hier einfach eine weitere Topologie definiert habe um dann diese Identität zu zeigen. Ich komme da allerdings im Moment noch nicht mit klar.
20.04.2023, 20:12	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Es geht um topologische Räume Es handelt sich bei den zu Beginn genannten topologischen Räumen um die Projektionsabbildungen, wobei T $\begin{eqnarray} _{X x Y} \end{eqnarray}$ die Produkttopologie ist.
26.04.2023, 09:34	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Abbildung ist stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge ebenfalls offen ist. Da die Abbildung hier die identische ist, lässt die Urbildoperation die Menge unberührt. Dasselbe gilt für die Umkehrabbildung. Es genügt demnach, zu verifizieren, dass eine Menge genau dann offen bezüglich der Produkttopologie ist, wenn sie offen bezüglich $\begin{eqnarray} E_2 \end{eqnarray}$ ist. Zur Implikation von links nach rechts. Es sei der Punkt $\begin{eqnarray} p\in W \end{eqnarray}$ fest, aber beliebig. Zu zeigen ist, es existiert eine offene Epsilon-Kugel $\begin{eqnarray} U_\varepsilon(p)\subseteq W. \end{eqnarray}$ Laut Prämisse ist $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ offen in der Produkttopologie. Somit existiert zu jedem Punkt $\begin{eqnarray} (x,y)\in W \end{eqnarray}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} U\times V\subseteq W. \end{eqnarray}$ Setze $\begin{eqnarray} (x,y):=p \end{eqnarray}$ . Bezüglich $\begin{eqnarray} E_1 \end{eqnarray}$ existieren infolge offene Epsilon-Umgebungen $\begin{eqnarray} U_{\varepsilon'}(x)\subseteq U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U_{\varepsilon''}(y)\subseteq V. \end{eqnarray}$ Wähle ein hinreichend kleines $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \varepsilon',\varepsilon'', \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} U_\varepsilon(p) \subseteq U_{\varepsilon'}(x)\times U_{\varepsilon''}(y)\subseteq U\times V\subseteq W. \end{eqnarray}$ Zur Implikation von rechts nach links. Sei $\begin{eqnarray} (x,y)\in W \end{eqnarray}$ fest, aber beliebig. Gesucht sind eine Umgebung $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} U\times V\subseteq W. \end{eqnarray}$ Laut Prämisse ist $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ offen bezüglich $\begin{eqnarray} E_2. \end{eqnarray}$ Somit existiert zu jedem Punkt $\begin{eqnarray} p\in W \end{eqnarray}$ eine offene Epsilon-Kugel $\begin{eqnarray} U_\varepsilon(p)\subseteq W. \end{eqnarray}$ Setze $\begin{eqnarray} p:=(x,y). \end{eqnarray}$ Wähle hinreichend kleine $\begin{eqnarray} \varepsilon',\varepsilon'' \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \varepsilon, \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} U:=U_{\varepsilon'}(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V:=U_{\varepsilon''}(y) \end{eqnarray}$ gesetzt werden darf, weil $\begin{eqnarray} U_{\varepsilon'}(x)\times U_{\varepsilon''}(y) \subseteq U_{\varepsilon}(p)\subseteq W. \end{eqnarray}$ Bei etwaiger, noch bestehender Unklarheit wäre die Anfertigung einer Skizze förderlich. Zur Frage stünde noch, warum die Projektionsabbildungen explizit zu erwähnen seien. Es ist nun mal $\begin{eqnarray} x=\pi_1(p) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=\pi_2(p). \end{eqnarray}$ Die zentrale Überlegung liegt allerdings woanders.

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