Leeres kartesisches Produkt

22.04.2023, 15:22

Pippen

Leeres kartesisches Produkt

Ich habe nun meine Notizen zu o.g. Thema vollendet, inkl. eines Bsp. für A^1. Entdeckt ihr dort Fehler? Dann wäre ich für einen Hinweis dankbar.

[attach]57006[/attach]

22.04.2023, 16:20

Elvis

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Warum bringst du Mengen, Funktionen und Zahlen gewaltsam durcheinander? Da fehlt jede Motivation, und deine Darstellung enthält reichlich viele Fehler.
Das Beispiel ist sehr viel einfacher, wenn man wie üblich für eine Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ schreibt $\begin{eqnarray*} A^1 =A \end{eqnarray*}$ .

22.04.2023, 18:10

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Warum bringst du Mengen, Funktionen und Zahlen gewaltsam durcheinander? Da fehlt jede Motivation, und deine Darstellung enthält reichlich viele Fehler.

Weil viele LB und wikipedia das auch so machen. Auch leuchtet mir das alles ein. warum soll man nicht die leere Menge mit 0 und die Menge mit der leeren Menge als 1 definieren. Wo genau sind denn die Fehler?

Zitat:

Das Beispiel ist sehr viel einfacher, wenn man wie üblich für eine Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ schreibt $\begin{eqnarray*} A^1 =A \end{eqnarray*}$ .

Das halte ich für falsch, denn A^1 muss ein kartesisches Produkt sein, d.h. eine Menge geordneter Paare. A^1 = A hieße ja, dass zB {1,2}^1 = {1,2}, aber das ist nicht der Fall vielmehr (wir setzen mal I = {a}) {1,2}^1 = {(a,1), (a,2)}. So verstehe ich es und das ist schon ein gewaltiger Unterschied.

22.04.2023, 20:02

Elvis

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Eine Menge ist eine Menge. Eine Zahl ist eine Zahl. Das ist doch nicht so schwer zu verstehen. Man kann den Durchschnitt und die Vereinigung von Mengen bilden, nicht von Zahlen. Man kann Zahlen addieren und multiplizieren, Mengen aber nicht.

Das cartesische Produkt von zwei Mengen $\begin{eqnarray*} A\times B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\} \end{eqnarray*}$ ist eine Menge von Paaren. Das cartesische Produkt von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Mengen sind $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Tupel $\begin{eqnarray*} (a_1,...,a_n) \end{eqnarray*}$ . Das 1-Tupel $\begin{eqnarray*} (a)=a \end{eqnarray*}$ kann mit dem Mengenelement $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ identifiziert werden, weil die Klammern nur Zeichen ohne weitere Bedeutung sind.

22.04.2023, 21:53

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Eine Menge ist eine Menge. Eine Zahl ist eine Zahl. Das ist doch nicht so schwer zu verstehen. Man kann den Durchschnitt und die Vereinigung von Mengen bilden, nicht von Zahlen. Man kann Zahlen addieren und multiplizieren, Mengen aber nicht.

Natürlich kann man Zahlen vereinigen (addieren), den Durchschnitt bilden oder multiplizieren. Denn Zahlen sind nur Namen für Mengen, genau wie Ziffern Namen für Zahlen. Das sagt nicht irgendwer, sondern die Standardtheorie der Mathematik, ZFC. Warum willst du diese Brüderschaft zwischen Zahlen und Menge brechen?

Zitat:

Das cartesische Produkt von zwei Mengen $\begin{eqnarray*} A\times B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\} \end{eqnarray*}$ ist eine Menge von Paaren. Das cartesische Produkt von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Mengen sind $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Tupel $\begin{eqnarray*} (a_1,...,a_n) \end{eqnarray*}$ . Das 1-Tupel $\begin{eqnarray*} (a)=a \end{eqnarray*}$ kann mit dem Mengenelement $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ identifiziert werden, weil die Klammern nur Zeichen ohne weitere Bedeutung sind.

Hm…ist also mein Bsp. mit A^1 falsch oder ist es richtig, aber die meisten nehmen das eine geordnete Paar nicht für voll und schreiben verkürzt {1} statt wie ich umständlich aber formal korrekt {( $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ , 1)}?

23.04.2023, 14:17

Elvis

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Ein Axiomensystem wie z.B. ZFC sagt nichts über die Natur der Objekte, die dem Axiomensystem genügen. ZFC sagt nicht, was Mengen sind sondern wie sie sich verhalten und was man damit machen kann.

Ziffern sind nicht Namen sondern Symbole. Zahlen sind keine Mengen sondern Objekte mit denen man zählen und rechnen kann. Lies Richard Dedekind ("Was sind und was sollen die Zahlen ?" , "Stetigkeit und Irrationale Zahlen" herausgegeben 2017 von Stefan Müller-Stach, Springer Spektrum "Klassische Texte der Wissenschaft"), wenn du wissen willst, wie man im 19. Jahrhundert begonnen hat, Zahlen zu verstehen.

Cartesische Produkte von Mengen enthalten keine Paare von Elementen sondern Tupel, die man als Bilder von Funktionen interpretieren kann aber nicht muss. $\begin{eqnarray*} 1=\{1\}=\{(\emptyset,1)\} \end{eqnarray*}$ ist ebenso unnötig wie unsinnig.

23.04.2023, 18:34

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis

Cartesische Produkte von Mengen enthalten keine Paare von Elementen sondern Tupel, die man als Bilder von Funktionen interpretieren kann aber nicht muss. $\begin{eqnarray*} 1=\{1\}=\{(\emptyset,1)\} \end{eqnarray*}$ ist ebenso unnötig wie unsinnig.

Aber ich wende die allgemeine Definition für das kart. Kreuzprodukt von Mengen an und da kommt eben $\begin{eqnarray*} \{(\emptyset,1)\} \end{eqnarray*}$ raus. Das scheint mir formal die einzig korrekte Lösung, wenn sie auch umständlich ausfällt, mag sein. Auch ist mir aufgefallen, dass bei A^0 eigentlich die Lösung {()} lauten müsste und nicht so einfach { $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ }, denn vorher müsste die Äquivalenz beider erst postuliert werden, denn ein leeres Paar/Tupel ist keineswegs trivial eine leere Menge, denn immerhin ist dem Paar/Tupel eine Geordnetheit inhärent, die hier zwar ungenutzt bleibt, aber dennoch latent vorliegt. Ich glaube, wenn man ganz tief und genau hinguckt, dann schludert ihr Mathematiker auch nicht wenig. Augenzwinkern

23.04.2023, 19:14

Elvis

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Mathematik besteht nicht aus trivialen Formalismen, die im Grenzfall problematisch werden können. Mathematik ist eine kontextsensitive Sprache, d.h. dass wir Definitionen flexibel handhaben und der jeweiligen Theorie anpassen, mit der und in der wir arbeiten. Weil du immer wieder triviale Problemchen suchst, findest du auch welche, das ist aber belanglos und hat für die Mathematik keine Folgen. Weil deine Versuche immer grobe Fehler enthalten, kann man sowieso nichts daraus lernen.

Nachtrag: In dem Wikipedia-Artikel "Leeres Produkt" wird alles etwa so dargestellt, wie du es zu benutzen versucht hast. Es ist nicht sinnvoll, dieses Chaos für die absolute Wahrheit zu halten, weil es keine Wahrheit darstellen will sondern nur ein paar Anmerkungen zu Randerscheinungen macht. Halte dich an den Hauptartikel "Kartesisches Produkt" in Wikipedia, damit lässt sich mehr anfangen.

23.04.2023, 20:24

Finn_

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Das folgende Python-Programm zeigt eine Kodierung der Tupel als Mengen. Insofern wären das leere Tupel und die leere Menge identisch.

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# Ein ergonomisches Literal für frozenset
def Set(*a):
    return frozenset(a)

# Kuratowskische Darstellung von Paaren als Mengen
def pair_repr(x, y):
    return Set(Set(x), Set(x, y))

# Inverse
def pair_from_repr(s):
    [e0, e1] = list(s)
    [x] = list(e0 & e1)
    [y] = list((e0 | e1) - (e0 & e1))
    return (x, y)

# Rekursiv definierte Darstellung von Tupeln
def tuple_repr(t):
    if len(t) == 0:
        return Set()
    else:
        return pair_repr(t[0], tuple_repr(t[1:]))

# Inverse
def tuple_from_repr(s):
    if s == Set():
        return ()
    else:
        (x, y) = pair_from_repr(s)
        return (x,) + tuple_from_repr(y)

def id_tuple(t):
    return tuple_from_repr(tuple_repr(t))

assert id_tuple(()) == ()
assert id_tuple((1,)) == (1,)
assert id_tuple((1, 2)) == (1, 2)
assert id_tuple((1, 2, 3)) == (1, 2, 3)
assert id_tuple((1, 2, 3, 4)) == (1, 2, 3, 4)

23.04.2023, 22:58

Finn_

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Eine Implementierung des allgemeinen kartesischen Produkts, sofern mir keine Flüchtigkeitsfehler unterlaufen sind.

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from itertools import product

def display_set(obj):
    if isinstance(obj, frozenset):
        return "{" + ", ".join(display_set(x) for x in obj) + "}"
    elif isinstance(obj, tuple):
        return "(" + ", ".join(display_set(x) for x in obj) + ")"
    else:
        return str(obj)

def Set(*a):
    return frozenset(a)

def mappings(X, Y, conv = frozenset):
    return [conv(zip(X, t)) for t in product(Y, repeat = len(X))]
    
# Menge der Abbildungen
def Abb(X, Y):
    return frozenset(mappings(X, Y))

# Vereinigung(i in I) A[i]
def union(I, A):
    acc = set()
    for i in I:
        acc |= A[i]
    return frozenset(acc)

# Produkt(i in I) A[i]
def prod(I, A):
    return frozenset(f for f in Abb(I, union(I, A))
        if all(dict(f)[i] in A[i] for i in I))

empty_set = Set()
I = empty_set
A = Set(1, 2, 3, 4)
FamilyA = dict((i, A) for i in I)
print(display_set(prod(I, FamilyA)))
# Ausgabe: {{}}

I = Set(empty_set)
A = Set(1)
FamilyA = {empty_set: A}
print(display_set(prod(I, FamilyA)))
# Ausgabe: {{({}, 1)}}

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