Limes von Produkt von Funktionen

22.04.2023, 21:07

kornelthefirst

Limes von Produkt von Funktionen

Meine Frage:
Ich brauche

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{cos\sqrt{x} -1} {sinhx} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich kann separat $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} cos\sqrt{x} -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} sinhx \end{eqnarray*}$ bestimmen, aber beide sind 0 und l'Hospital Regel funktioniert nicht, weil beide unendlich differenzierbar sind ohne 0 zu erreichen.

22.04.2023, 21:19

klauss

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RE: limes von Produkt von Funktionen
Ich habe einfach mal arglos L'Hospital drauf losgelassen und den richtigen Grenzwert erhalten. Du dürftest die Regel falsch angewendet haben oder konntest das Ergebnis nicht richtig deuten.
Wie bist Du genau vorgegangen?

22.04.2023, 21:27

kornelthefirst

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RE: limes von Produkt von Funktionen
Ich dachte l'Hospital darf man nur benutzen, wenn eine oder beide Funktionen bis 0 differenzierbar ist

22.04.2023, 21:33

klauss

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RE: Limes von Produkt von Funktionen
Ich verstehe gar nicht, was die Formulierung bedeuten soll. Ich habe auch nicht verstanden, was mit

Zitat:

..., weil beide unendlich differenzierbar sind ohne 0 zu erreichen.

gemeint war, bin aber darüber hinweggegangen.
Hast Du überhaupt schon irgendwas gerechnet?

22.04.2023, 22:03

kornelthefirst

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RE: Limes von Produkt von Funktionen
Ich habe limes für beide Funktionen bestimmen. Eine Weise für limes von Produkt zu bestimmen, wenn beide bis zu 0 gehen ist, festzustellen welche schneller bis 0 geht.
Wenn man differenziert bis eine davon constant wird, kann man feststellen, dass diese 0 langsamer nähert.
Bin ich falsch?

22.04.2023, 22:19

kornelthefirst

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RE: Limes von Produkt von Funktionen
Ich habe l'Hospital auch gemacht und es hat das Ausrechen von limes vereinfachert, du hast völlig Recht. Sorry und vielen Dank

22.04.2023, 22:25

klauss

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RE: Limes von Produkt von Funktionen
Es wäre natürlich schön gewesen zu erfahren, wie Du letztlich gerechnet hast und mit welchem Ergebnis.

22.04.2023, 22:35

kornelthefirst

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RE: Limes von Produkt von Funktionen
I wusste l'Hospital Regel falsch, ich dachte, dass man differenzieren muss, bis man auf eine Konstante kommt.
Zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{x^{10} }{e^{x} } \end{eqnarray*}$ müsste man 10 Mal differenzieren um auf $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{1 }{e^{x} } \end{eqnarray*}$ zu kommen. So kann man feststellen, dass die Lösung 0 ist

22.04.2023, 22:44

klauss

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RE: Limes von Produkt von Funktionen
Bei dem Beispiel mag das letzlich funktionieren. Abgesehen davon ist Dein Ansatz äußerst schwammig (und wir befinden uns hier im Hochschulbereich).
Für Deine eingangs genannte Aufgabe ist jedenfalls L'Hospital nutzbar und der Grenzwert ist endlich, aber nicht 0.
Leider hast Du Deine diesbezügliche Rechnung bisher verheimlicht.

22.04.2023, 22:55

kornelthefirst

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RE: Limes von Produkt von Funktionen
ich habe nach l'Hospital
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{cos\sqrt{x} -1}{sinhx} = \lim_{x \to 0+} \frac{-sin\sqrt{x} \frac{1}{2\sqrt{x} } }{coshx} \end{eqnarray*}$ aufgeschrieben
Dann festgestellt, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} coshx = 1 \end{eqnarray*}$
Noch einmal l'Hospital gibt
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{-sin\sqrt{x} x}{2\sqrt{x} } = -\frac{1}{2} \lim_{x \to 0+} \frac{\frac{cos\sqrt{x} }{2\sqrt{x} } }{2\sqrt{x} } = -\frac{1}{2} \lim_{x \to 0+} cosx = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

22.04.2023, 23:13

klauss

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RE: Limes von Produkt von Funktionen
Im 2. Durchgang sehe ich noch ein paar Schreibfehler und im Ergebnis ist ein Minuszeichen verlorengegangen.
Für
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin\sqrt{x} }{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$
braucht man L'Hospital aber eigentlich nicht mehr unbedingt, da sich dies auf einen bekannten Standardgrenzwert zurückführen läßt.

24.04.2023, 14:06

HAL 9000

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So ist es - manchmal sollte man Substitutionen in Erwägung ziehen, die offensichtlich die Grenzwertstruktur vereinfachen, damit meine ich eben jenes

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0+} \frac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} = \lim_{t\to 0+} \frac{\sin(t)}{t} \end{eqnarray*}$ , erhalten durch Substitution $\begin{eqnarray*} t=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ .

Übrigens kann man den Ausgangsgrenzwert auch rein durch Kenntnis der Grenzwerte $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to 0} \frac{\sin(t)}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{\sinh(t)}{t} = 1 \end{eqnarray*}$ berechnen, ohne zusätzliche L'Hospital-Schritte.

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