Normen

22.04.2023, 23:12	JUZER	Auf diesen Beitrag antworten »
Normen Meine Frage: Berechnen Sie die Hilbert-Schmidt- und die Operatornorm von B :=((2/3 1/2)(1/2 2/3). Berechnen Sie dann \sum_{j=0}^{\infty }B^{j} Meine Ideen: Also die Hilbert Schmidt Norm sollte 1,1785 sein und die Operator Norm ist doch 1,166?! aber ich frage mich wie dieser zweite Teil gemeint ist meine Vermutung wäre jetzt irgendwas mit der Geometrischen Summe aber vielleicht kann mir das jemand erklären wie man da jetzt am besten vorgeht. Vielen Dank im Vorraus
23.04.2023, 10:55	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normen Ich nehme an, es geht um $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix} 2/3 & 1/2 \\ 1/2 & 2/3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Dann ist das eine erfreulich rechenarme Aufgabe: Die beiden Zeilensummen haben den Wert 7/6. Das ist dann ein EW zum EV $\begin{eqnarray} (1,1)^T \end{eqnarray}$ . Die Spur der Matrix ist auch die Summe der Eigenwerte. Der zweite Eigenwert ist also 1/6. Damit ist die HS-Norm $\begin{eqnarray} \frac 5 6 \sqrt 2 \end{eqnarray}$ und die Operatornorm 7/6. Der EV zum EW 1/6 ist orthogonal zu $\begin{eqnarray} (1,1)^T \end{eqnarray}$ , also kann man $\begin{eqnarray} (-1,1)^T \end{eqnarray}$ nehmen und hat damit die Diagonalisierung $\begin{eqnarray} B=S^{-1}DS \end{eqnarray}$ , aus der man bequem die höheren Potenzen von B berechnen kann. Weil der Betrag des größten EW aber schon größer als 1 ist, kann die Reihe nicht konvergieren.
23.04.2023, 21:31	JUZER	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normen Hallo URL, vielen Dank erstmal Also Die Diagonalisierung wäre $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/6 & 0 \\ 0 & 7/6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -0,5 & 0,5 \\ 0,5 & 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und sowas ähnliches hätte ich mir jetzt gedacht. aber wo kann ich jetzt "bequem" die höheren Potenzen ausrechnen, dass sehe ich gerade noch nicht Vielleicht kannst du darauf nochmal eingehen. Vielen Dank
23.04.2023, 22:11	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normen Aus $\begin{eqnarray} B=S^{-1}DS \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} B^2=S^{-1}DSS^{-1}DS=S^{-1}D^2S \end{eqnarray}$ . Jetzt klar?

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