Lösungsformel wann plus oder minus

26.04.2023, 14:05

Karschti

Lösungsformel wann plus oder minus

Hallo,

ich habe Matheaufgaben die ich auch rechnen kann, nur seltsamerweise welchselt sich bei der Lösungesformel immer r1 und r2 ab.

Wie ist das, wenn vor der Wurzel der Lösungsformel ein + steht wird es r1 oder r2.
Wann wird ein Ergebnis bei der Lösungsformel r1 oder r2???

Hier zwei Beispiele:

Bei Beispiel 1: -12-4 /2 = r1 = -8 (Also das Minus vor der Wurzel wird zu r1)

Bei Besipiel 2: -12-2 /2 = r2 = -7 (Hier nochmals minus vor der Wurzel)

Warum wird bei Beispiel 1 zu r1 und bei Beispiel 2 zu r2?

26.04.2023, 14:53

G260423

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RE: Lösungsformel wann plus oder minus
Zu beiden:
Es gibt 2 Lösungen:
eine mit Zahl + die Wurzel, eine mit Zahl - die Wurzel

26.04.2023, 15:10

mYthos

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Gegebenenfalls ist bei Sachaufgaben (Textaufgaben) auf die Plausibilität der Lösungen zu prüfen.
So wird es z.B. in der Preis- und Kostentheorie - bei Mengen und Geldeinheiten - meist keine negativen Lösungen geben, daher wären diese dann auszuschließen.

Auch in anderen derartigen Aufgaben kommen oft nur positive Lösungen in Betracht.
Bei mehreren positiven Ergebnissen wird jenes ausgewählt, welches für den gegebenen Sachzusammenhang passend ist.

mY+

26.04.2023, 15:59

HAL 9000

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Ich habe Karschtis Frage so verstanden, ob es eine verbindliche Festlegung gibt, dass Lösung 1 zum Minus- und Lösung 2 zum Plus-Zweig der Lösungsformel gehört - oder vielleicht auch umgekehrt.

Eine solche verbindliche Festlegung gibt es meines Wissens nach nicht - wie man an den beiden oben angeführten Beispielen sieht, wurde es dort ja auch in dem einen Beispiel so und in dem anderen umgekehrt gehandhabt.

26.04.2023, 17:00

Steffen Bühler

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Ich hatte eigentlich immer gedacht, dass $\begin{eqnarray*} p_{1/2}=1 \pm 1 \to p_1=2, p_2=0 \end{eqnarray*}$ .

Und wenn es andersrum gemeint ist, müsste man $\begin{eqnarray*} p_{1/2}=1 \mp 1 \end{eqnarray*}$ schreiben.

26.04.2023, 17:17

Mathema

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Ich sehe es so wie HAL. Das Zeichen $\begin{eqnarray*} \mp \end{eqnarray*}$ wird ja eigentlich auch nur im Zusammenhang mit $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ genutzt. Stehen beide Zeichen alleine, so sind sie als identisch zu betrachten. Siehe auch MSE.

26.04.2023, 18:17

Leopold

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Und ich lehne eine Neuindizierung von Variablen aus dem Nichts grundsätzlich ab. Ich bringe meinen Schülern bei:

$\begin{align*} (x-2)^2 = 9 \end{align*}$
$\begin{align*} x-2 = \pm 3 \end{align*}$
$\begin{align*} x = -1 \ \ \text{oder} \ \ x = 5 \end{align*}$

Jede Zeile der Rechnung ist zu jeder anderen äquivalent. Die Einsetzungen für $\begin{align*} x \end{align*}$ , die zu wahren beziehungsweise falschen Aussagen führen, sind in allen drei Zeilen dieselben.

Mich hat schon immer geärgert, daß da plötzlich Indizes auftauchen:

$\begin{align*} x_1 = - 1 \ \ \text{oder} \ \ x_2 = 5 \end{align*}$

Warum gibt es auf einmal zwei neue Variablen $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ ? Wohin ist die alte Variable $\begin{align*} x \end{align*}$ verschwunden? Wie weggeblasen.

Höchstens die folgende Deutung hielte ich für zulässig. Mit $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ sind gar keine Variablen gemeint, sondern die beiden bezeichnen temporäre Konstante. Dann müßte man die letzte Zeile so schreiben:

$\begin{align*} x = x_1 = -1 \ \ \text{oder} \ \ x = x_2 = 5 \end{align*}$

Das zweite Gleichheitszeichen ist nicht das Gleichheitszeichen der Aussageformen, sondern ein Definitionsgleichheitszeichen. Programmiersprachen unterscheiden meist eine Zuweisung von einem Booleschen Gleichheitsoperator. Leider ist die Mathematik hierbei nicht präzise. Es hat sich in der Mathematikgeschichte nun mal so ergeben, daß man in der Schreibweise keinen Unterschied macht. Manche mögen := schreiben, wenn sie ein Definitionsgleichheitszeichen machen, aber so richtig konsequent wird das nicht durchgezogen.

Wie schon gesagt: In meinem Unterricht gibt es keinen Index aus dem Nichts bei der Lösungsangabe einer quadratischen Gleichung. Ich gebe aber unumwunden zu, daß ich bei der Durchsetzung meiner Sichtweise ziemlich erfolglos bin. In den meisten Büchern steht es anders, und wenn die Schüler aus der Nachhilfe kommen, bringen sie auch wieder die Indizes 1 und 2 mit. Ich kämpfe daher gegen Windmühlen. Aber wie bei Don Quijote hindert mich die Aussichtslosigkeit meines Kampfes nicht, mich voll ins Getümmel zu stürzen und für das Gute zu kämpfen.

26.04.2023, 18:37

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} (x-2)^2 = 9 \end{align*}$
$\begin{align*} x-2 = \pm 3 \end{align*}$
$\begin{align*} x = -1 \ \ \text{oder} \ \ x = 5 \end{align*}$

@Karschti
Um es am Beispiel von Leopold zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=2\pm 3 \end{eqnarray*}$ bezeichnet die folgenden zwei Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} x_1=2+3\\x_2=2-3 \end{eqnarray*}$

27.04.2023, 10:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Warum gibt es auf einmal zwei neue Variablen $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ ? Wohin ist die alte Variable $\begin{align*} x \end{align*}$ verschwunden? Wie weggeblasen.

Nun, meine Hoffnung ist, dass den Schülern dann doch erklärend vermittelt wird

Zitat:

Die Gleichung besitzt die Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} \{x_1,x_2\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \ldots \end{eqnarray*}$

und diese Vereinbarung dann stillschweigend für alle Aufgaben dieses Typs gilt.

Zum $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ : Mitunter wird vereinbart, dass bei $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ das + für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und das - für $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ steht, und bei $\begin{eqnarray*} \mp \end{eqnarray*}$ dann umgekehrt.

In dem Sinne steht dann $\begin{eqnarray*} x_{1,2} = -\frac{b}{2a} \mp \sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}} \end{eqnarray*}$ für aufsteigend geordnete Lösungen, d.h. $\begin{eqnarray*} x_1\leq x_2 \end{eqnarray*}$ (reelle Lösungen der quadratischen Gleichung $\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c=0 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt). Was bei der etwas anderen Darstellung $\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{-b \mp \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$ nur im Fall $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ stimmt. Augenzwinkern

Aber dass diese Vereinbarung generell besteht, ist zumindest mir nicht bekannt. Ich hab auch schon beim mehrfachen Auftreten von $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ alles erlebt: D.h. $\begin{eqnarray*} a\pm b\pm c \end{eqnarray*}$ kann bedeuten

i) $\begin{eqnarray*} a+b+c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a-b-c \end{eqnarray*}$ , also "gebundene" Vorzeichen, oder

ii) alle $\begin{eqnarray*} 2^2=4 \end{eqnarray*}$ Kombinationen $\begin{eqnarray*} a+b+c \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a+b-c \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a-b+c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a-b-c \end{eqnarray*}$ , und die auch wieder ohne besonders festgelegte Reihenfolge.

Es sollte jeweils aus dem Kontext hervorgehen, was gemeint ist - im Zweifelsfall sollte man es als Autor klarstellen.

P.S.: Weil wir gerade dabei sind, es gibt auch die Variante mit drei statt zwei Optionen, und die wird nicht mal formelmäßig besonders angezeigt: Die Cardanische Formel in der Darstellung

$\begin{eqnarray*} z = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}} \end{eqnarray*}$

ist im allgemein komplexen Fall höchst problematisch, da jeder der beiden Summanden jeweils drei komplexe Wurzeln repräsentiert, die aber nicht beliebig in dieser Summe kombiniert werden dürfen, sondern nur gemäß $\begin{eqnarray*} z = w_1 + w_2 \end{eqnarray*}$ mit Kopplung $\begin{eqnarray*} w_1w_2 = -\frac{p}{3} \end{eqnarray*}$ . Daher ist es an sich besser $\begin{eqnarray*} z = w_1 - \frac{p}{3w_1} \end{eqnarray*}$ zu schreiben, und $\begin{eqnarray*} w_1 \end{eqnarray*}$ durchläuft dann die drei dritten Wurzeln von $\begin{eqnarray*} -\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}} \end{eqnarray*}$ .

27.04.2023, 12:06

Dopap

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Ich gab gelegentlich auch die Schreibfigur

$\begin{eqnarray*} (x-2)^2=9 <br /> \pm (x-2)=3 <br /> \end{eqnarray*}$

zu bedenken, aber nur um den Gedanken an $\begin{eqnarray*} \sqrt 9 =\pm 3 \end{eqnarray*}$ zu unterminieren
Ansonsten ist man mit $\begin{eqnarray*} \mathbb L=\{-1,5\} \end{eqnarray*}$ fein raus, sofern die Grundmenge nicht zufällig $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist.

27.04.2023, 14:47

Elvis

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$\begin{eqnarray*} (x-2)^2-9=x^2 - 4x-5=(x-x_1)(x-x_2)=(x+1)(x-5) \end{eqnarray*}$
Das war schon immer so in der Algebra, also hat Leopold ganz recht, dass es hier nur eine Variable x und zwei konstante Nullstellen des Polynoms gibt. Weil die Multiplikation kommutativ ist, kann man die Reihenfolge der Nullstellen nicht festlegen.

27.04.2023, 16:32

Luftikus

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Zitat:

Original von Leopold
Und ich lehne eine Neuindizierung von Variablen aus dem Nichts grundsätzlich ab.

Genauer handelt es sich hierbei ja nicht um neue Variablen, sondern um Bezeichner für Elemente einer (abzählbaren) Lösungsmenge:
$\begin{eqnarray*} x \in \{x_1,x_2\} \end{eqnarray*}$

Da die Menge aber nicht geordnet ist, stellt sich die Frage der eindeutigen Zuordnung.
Daher wäre in diesem Falle eine Angabe der Bezeichner wie $\begin{eqnarray*} x_{-} ,\;x_{+} \end{eqnarray*}$ sinnvoller.
Oder man schreib anstatt " $\begin{eqnarray*} \mp \end{eqnarray*}$ " sowas wie $\begin{eqnarray*} (-)^k ,\; k=1,2 \end{eqnarray*}$

Analog dazu:
$\begin{eqnarray*} sin(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow x_k = k \cdot \pi ,\; k \in Z \end{eqnarray*}$

27.04.2023, 18:39

Leopold

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Daß ich das Anbringen der Indizes nicht für korrekt halte, habe ich nun hinreichend betont. Wenn man es aber dennoch tut, dann kann ich schon gar keinen Sinn darin erkennen, die Reihenfolge der Lösungen auf welche Art auch immer an ein $\begin{align*} \pm \end{align*}$ zu binden. Es besteht doch ein logisches "oder". Und das ist kommutativ:

$\begin{align*} (x-2)^2 = 9 \ \ \Leftrightarrow \ \ x-2 = 3 \ \vee \ x-2 = - 3 \ \ \Leftrightarrow \ \ x = 5 \ \vee \ x = -1 \end{align*}$

Das $\begin{align*} \pm \end{align*}$ ist nur eine Konvention, die "oder"-Aussage aus Gründen der Bequemlichkeit kürzer zu notieren:

$\begin{align*} x-2 = 3 \ \vee \ x-2 = - 3 \ \ \Leftrightarrow \ \ x-2 = \pm 3 \end{align*}$

Wenn ich nun temporäre Konstante einführe, um die Lösungen zu benamen, muß ich es nur so machen, daß ich sie auseinanderhalten kann:

$\begin{align*} x = x_1 = 5 \ \ \text{oder} \ \ x = x_2 = -1 \end{align*}$

ist ebenso gut wie

$\begin{align*} x = x^{*} = 5 \ \ \text{oder} \ \ x = \hat{x} = -1 \end{align*}$

EDIT
Eine Ergänzung.

Wenn wir die quadratische Gleichung

$\begin{align*} -x^2 + 5x - 6 = 0 \end{align*}$

lösen, bekommen wir mit $\begin{align*} a=-1, b=5, c=-6 \end{align*}$ in der Lösungsformel

$\begin{align*} x = \frac{-5 \pm 1}{-2} \end{align*}$

Und jetzt muß ich mich ganz fest zusammennehmen, damit meine Hand nicht verkrampft und mit dem Stift ein Loch ins Papier reißt, wenn ich 1,2 in dieser Reihenfolge mit +,- verbinde:

$\begin{align*} x_1 = \frac{-5+1}{-2} = 2 \, , \ \ x_2 = \frac{-5-1}{-2} = 3 \end{align*}$

Wäre ich von der äquivalenten Gleichung

$\begin{align*} x^2 - 5x + 6 = 0 \end{align*}$

ausgegangen, hätte ich Folgendes erhalten:

$\begin{align*} x = \frac{5 \pm 1}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} x_1 = \frac{5+1}{2} = 3 \, , \ \ x_2 = \frac{5-1}{2} = 2 \end{align*}$

Welche Lösung ist nun richtiger? traurig

27.04.2023, 19:57

Elvis

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Die erste Lösung ist richtig, weil 2 kleiner als 3 ist. Die zweite Lösung ist richtig, weil das Polynom normiert ist. Augenzwinkern

Nein, ganz im Ernst, beide Lösungen sind völlig gleichwertig, weil das logische ODER genau so kommutiert wie die arithmetische Multiplikation, und weil man in nicht angeordneten Körpern keine kanonische Ordnung haben kann.

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