Vollständige Induktion

26.04.2023, 15:01

9skll

Vollständige Induktion

Meine Frage:
Aufgabe: Beweisen sie mit Hilfe der Vollständigen Induktion $\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N_{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k*2^{k} = n* 2^{n+2} + 2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
komme beim Induktionsschritt nicht weiter habe n= 0 eingesetzt und beweisen jetzt mit n+1

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{((n+1)+1)} k * 2^{k} = (n+1) * 2^{((n+1)+2)} +2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+2} k *2^{k} = (n+1) * 2^{n+3} + 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+2} k*2^k = \sum\limits_{k=1}^{n+1} + \sum\limits_{k=n+2}^{n+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = n*2^{n+2} + 2 + (n+2) *2^{n+2} \end{eqnarray*}$

weiter komme ich nicht weiter. kann auch sein das zwischen durch Fehler passiert sind

Latex-Code global ergänzt.
klauss

26.04.2023, 15:08

9skliii

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RE: Vollständige Induktion
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k*2^{k} = n* 2^{n+2} + 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{((n+1)+1)} k * 2^{k} = (n+1) * 2^{((n+1)+2)} +2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+2} k *2^{k} = (n+1) * 2^{n+3} + 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+2} k*2^k = \sum\limits_{k=1}^{n+1} + \sum\limits_{k=n+2}^{n+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = n*2^{n+2} + 2 + (n+2) *2^{n+2} \end{eqnarray*}$

26.04.2023, 15:16

Mathema

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von 9skliii
$\begin{eqnarray*} = \textcolor{red}{n*2^{n+2}} + 2 + \textcolor{red}{(n+2) *2^{n+2}} \end{eqnarray*}$

Nun klammere aus den roten Produkten den gemeinsamen Faktor aus. Einen Malpunkt schreibst du übrigens als \cdot in $\begin{eqnarray*} \LaTeX \end{eqnarray*}$ .

26.04.2023, 15:36

9sklll

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RE: Vollständige Induktion
So richtig:

= $\begin{eqnarray*} 4\cdot n\cdot 2^n + 2 + 4\cdot 2^n \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

26.04.2023, 15:48

Mathema

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Das hat aber nichts mit dem zu tun, was ich dir erzählt habe (und hinten in der Klammer muss es n+2 lauten). Du solltest doch ausklammern:

$\begin{eqnarray*} a\cdot b + c \cdot b =(a+c)\cdot b \end{eqnarray*}$

Kannst du das nun auf die roten Produkte übertragen?

26.04.2023, 16:02

HAL 9000

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https://www.onlinemathe.de/forum/Vollsta...-Induktion-3073

skull99 dort ist sicher eine völlig andere Person. Augenzwinkern

26.04.2023, 18:07

Ulrich Ruhnau

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

verbessertes Original von 9skll
Meine Frage:
Aufgabe: Beweisen sie mit Hilfe der Vollständigen Induktion $\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N_{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k\cdot 2^{k} = n\cdot 2^{n+2} + 2 \end{eqnarray*}$

Vielleicht braucht man keine extra Induktion dafür, das zu beweisen. Ich definiere die Funktion

$\begin{eqnarray*} s_n(x):=\sum\limits_{k=1}^{n+1} x^{k} = \frac{x^{n+2}-1}{x-1}-1 \end{eqnarray*}$

was man als geometrische Reihe auffassen und berechnen kann. Nun leite ich das Ganze nach x ab.

$\begin{eqnarray*} \left.s'_n(x)=\sum\limits_{k=1}^{n+1} kx^{k-1} = \frac{(n+2)x^{n+1}(x-1)-\left(x^{n+2}-1\right)}{(x-1)^2}\quad\right|\cdot x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xs'_n(x)=\sum\limits_{k=1}^{n+1} kx^{k} = \frac{(n+2)x^{n+2}(x-1)-x^{n+3}+x}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

In die letzte Gleichung muß man nur noch für x=2 einsetzen, damit man das Gewünschte gezeigt hat.

$\begin{eqnarray*} 2\cdot s'_n(2)=\sum\limits_{k=1}^{n+1} k\cdot 2^{k} = (n+2)2^{n+2}-2^{n+3} +2=n\cdot 2^{n+2}+2 \end{eqnarray*}$

Somit ist die Formel auch ohne Induktion bewiesen. Ich gebe ja zu, daß die Induktion leichter gewesen wäre. Andererseits soll man hier keine vollständigen Lösungen abliefern.

26.04.2023, 18:18

Mathema

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
$\begin{eqnarray*} \left.s'_n(x)=\sum\limits_{k=1}^{n+1} kx^{k-1} = \frac{(n+2)x^{n+1}(x-1)-\textcolor{red}{\left(x^{n+2}-1\right)}}{(x-1)^2}\quad\right|\cdot x \end{eqnarray*}$

26.04.2023, 18:28

Ulrich Ruhnau

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RE: Vollständige Induktion
Dank an Mathema. Inzwischen habe ich den Fehler selbst gefunden und korrigiert.

26.04.2023, 19:48

9sklll

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Vollständige Induktion
ich habe keine Ahnung wie ich es ausklammern soll habe versucht komme auf

(n*1) * (2^2 * 2^n ) + 2

28.04.2023, 00:55

klauss

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RE: Vollständige Induktion
Im anderen Forum wurde wohl geschlossen, vielleicht gehts hier doch noch weiter.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = \textcolor{red}{n*2^{n+2}} + 2 + \textcolor{red}{(n+2) *2^{n+2}} \end{eqnarray*}$

Der gemeinsame Faktor zum Ausklammern ist $\begin{eqnarray*} 2^{n+2} \end{eqnarray*}$ .

28.04.2023, 07:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von klauss
Im anderen Forum wurde wohl geschlossen

Da wurde nichts geschlossen, sondern skull99 hatte einfach beschlossen, dort nicht mehr zu antworten und stattdessen hier neu zu starten. Das "automatisch geschlossen" dort am Ende ist komplett belanglos, man kann trotzdem weiter posten (weiß auch nicht, was der Sinn dieser Zeile sein soll).

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