Sinus von 33°

29.04.2023, 09:37

Dopap

Sinus von 33°

mein Junior schult gerade um und sollte den genauen Wert von $\begin{eqnarray*} \sin(33°) \end{eqnarray*}$ angeben. Nun, etwas mehr als $\begin{eqnarray*} \frac 12 \end{eqnarray*}$ ist ihm zu grob und der TR habe außerdem nur Grundrechenarten und $\begin{eqnarray*} \sqrt x \end{eqnarray*}$ zur Verfügung.
Mir fällt jetzt nur $\begin{eqnarray*} \sin(18° + 15°) \end{eqnarray*}$ samt den Additionstheoremen ein in der Hoffnung, dass Sinus oder Cosinus von diesen Winkeln elementar sind?

29.04.2023, 09:56

IfindU

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RE: genauer Wert
Wolfram Alpha schafft es den Ausdruck herzuleiten:
$\begin{eqnarray*} \frac 1 {2 \sqrt{\frac 2{4 - \sqrt{7 + \sqrt 5 - \sqrt{6 (5 + \sqrt 5})}}}} \end{eqnarray*}$

Ich weiß allerdings nie wie Alpha das hergezaubert hat und bin noch fasziniert davon, dass es tatsächlich eine algebraische Zahl ist.

29.04.2023, 10:09

Ulrich Ruhnau

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RE: genauer Wert
@Dopap

$\begin{eqnarray*} \sin 33°=0.5446390350150270822240836920815653816078 \end{eqnarray*}$ laut Maple.

Wieso meinst Du, die Winkel 15° und 18° seien elementar?

29.04.2023, 10:10

Elvis

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https://www.google.com/url?sa=t&source=w...8X2N6HcvcegONIn

Sehr interessant Freude

Erinnere mich ganz dunkel daran, dass hier Galoistheorie dahinter steckt. War das nicht die Frage, welche Winkel mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind?

29.04.2023, 13:27

Leopold

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RE: Sinus von 33°

Zitat:

Original von Dopap
mein Junior schult gerade um und sollte den genauen Wert von $\begin{eqnarray*} \sin(33°) \end{eqnarray*}$ angeben

Soso... Ich glaube dir kein Wort. Nichtsdestotrotz ist deine Fragestellung interessant.

Den 15°-Winkel erhält man durch zweimaliges Halbieren eines 60°-Winkels, den 18°-Winkel durch zweimaliges Halbieren eines 72°-Winkels. Da sowohl das regelmäßige Sechseck (60°) als auch das regelmäßige Fünfeck (72°) mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind und das Winkelhalbieren ebenfalls mit Zirkel und Lineal bewerkstelligt werden kann, ist ein 33°-Winkel konstruierbar: 15°+18°=33°, wie du es selbst vorgeschlagen hast. Insofern läßt sich für $\begin{align*} \sin(33^{\circ}) \end{align*}$ ein Term mit geschachtelten Quadratwurzeln angeben. Der Rest ist Fleißarbeit.

29.04.2023, 18:30

HAL 9000

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Die Schachtelungstiefe der Wurzeln muss übrigens nicht so groß sein wie in der Darstellung von IfindU - mit maximaler Schachtelungstiefe 2 kommt man bereits aus. Augenzwinkern

Der Weg dabei ist simpel der ja schon ganz oben angesprochene

Zitat:

Original von Dopap
Mir fällt jetzt nur $\begin{eqnarray*} \sin(18° + 15°) \end{eqnarray*}$ samt den Additionstheoremen ein

30.04.2023, 06:54

Ulrich Ruhnau

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RE: Sinus von 33°
Mit Elvis Hinweis kommt man noch am leichtesten weiter:
$\begin{eqnarray*} \sin(18°+15°)=\sin(18°)\cos(15°)+\cos(18°)\sin(15°)=\frac{\sqrt{5}-1 }{4}\frac{\sqrt{2+\sqrt{3} } }{2} +\frac{\sqrt{2}\sqrt{5+\sqrt{5}}}{4} \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} =\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{10}\left(\sqrt{5}+1\right)\sqrt{2-\sqrt{3}}}{8} \end{eqnarray*}$

Eine gewisse Symmetrie hat das schon, aber ich habe keine Lust weiter zu rechnen.

30.04.2023, 06:59

G300923

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Ganz schöner Aufwand für etwas, was der TR in Millisekunden löst.

Hat das ganze irgendeinen praktischen Nutzen?
Was ist der Sinn solcher Aufgaben? Was soll ein Student dadurch lernen oder üben? verwirrt

30.04.2023, 08:02

Elvis

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Für Carl Friedrich Gauß, den Fürst der Mathematiker, war die Konstruktion des regelmäßigen 17-Ecks eine so wertvolle Leistung, dass er dieses auf seinem Grabstein in Göttingen einmeisseln ließ. Die Galoistheorie ist heute einer der wichtigsten Bausteine der modernen Algebra. Angehende Mathematiker, die das nicht wissen, sollten sich bald damit beschäftigen, sonst kann es sein, dass sie ihren Beruf verfehlt haben. Computer können nur das berechnen, was MathematikerInnen verstanden haben und InformatikerInnen programmieren können. Der Hype um künstliche Intelligenz ist total übertrieben und sollte nicht Anlass dazu geben, dass Menschen sich mit ihrer natürlichen Dummheit zufrieden geben.

30.04.2023, 10:06

G300423

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Danke für den Hinweis.
Gauß hat heute Geburtstag (1777).

PS:
Wenn du einem auf der Straße das so vorrechnest, zeigt er dir den Vogel, holt sein Smartphone raus
und sagt: So macht man das heute, Klugscheißer! Augenzwinkern

PPS:
Peter Scholze hat die Fields-Medaille gewonnen, der auf dem Gebiet der Galoistheorie
arbeitet.

30.04.2023, 12:08

Elvis

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PS. Fast richtig. Man macht es nicht so, man lässt es machen.
PPS. Fast richtig. Peter Scholze arbeitet auf dem Gebiet des Langlands-Programm.
Die Fields-Medaille bekommt man nicht dafür, dass man ein Smartphone benutzen kann sondern für eigene Ideen, Kreativität und Leistung.

30.04.2023, 12:32

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von G300923
Hat das ganze irgendeinen praktischen Nutzen?
Was ist der Sinn solcher Aufgaben? Was soll ein Student dadurch lernen oder üben? verwirrt

Wer die Wissenschaft voranbringen will, sollte nie aufhören Fragen zu stellen. Ich würde sagen: Eine gute Frage ist immer wertvoller, als eine zu schnelle Antwort. Wenn Dopap eine Frage stellt, ist das oft wie eine kleine Mathe-Olympiade. Die besten kommen zusammen und rätseln um die Wette. Das Schöne dabei ist, daß man zum Schluß oft eine wertvolle Erkenntnis davon mitnimmt. Prinzipiell ist Matheboard zum Mitnehmen von Erkenntnissen gedacht, warum also nicht auch hierbei? Augenzwinkern

30.04.2023, 12:37

Elvis

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D'accord

Mathematik kann man wie jede Wissenschaft nur durch Interaktion und Kommunikation lernen.

30.04.2023, 13:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{5}-1 }{4}\frac{\sqrt{2+\sqrt{3} } }{2} +\frac{\sqrt{2}\sqrt{5+\sqrt{5}}}{4} \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} =\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{10}{\color{red}\left(\sqrt{5}+1\right)}\sqrt{2-\sqrt{3}}}{8} \end{eqnarray*}$

Diese Umformung ist falsch.

Die Doppelwurzeln $\begin{eqnarray*} \sqrt{2\pm \sqrt{3}} \end{eqnarray*}$ kann man noch auflösen in "Einfachwurzeln" $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ , bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{5+\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$ gelingt sowas indes nicht.

30.04.2023, 23:59

Ulrich Ruhnau

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RE: Sinus von 33°
@HAL Danke!
So jetzt noch mal neu:
$\begin{eqnarray*} \sin(18°+15°)=\sin(18°)\cos(15°)+\cos(18°)\sin(15°)=\frac{\sqrt{5}-1 }{4}\frac{\sqrt{2+\sqrt{3} } }{2} +\frac{\sqrt{2}\sqrt{5+\sqrt{5}}}{4} \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} =\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{10}\sqrt{\sqrt{5}+1}\sqrt{2-\sqrt{3}}}{8} \end{eqnarray*}$
So war es gemeint, auch wenn die Symmetrie jetzt nicht mehr so deutlich ist.

01.05.2023, 11:12

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von HAL 9000
Die Doppelwurzeln $\begin{eqnarray*} \sqrt{2\pm \sqrt{3}} \end{eqnarray*}$ kann man noch auflösen in "Einfachwurzeln" $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ , bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{5+\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$ gelingt sowas indes nicht.

@HAL
Wie hast Du es geschafft $\begin{eqnarray*} \sqrt{2\pm \sqrt{3}} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ zu wandeln? Und warum geht das einmal und dann wieder nicht?

01.05.2023, 11:37

IfindU

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Man versucht eine binomische Formel im Radikanten zu erkennen. Man kann den Ansatz $\begin{eqnarray*} (a+b\sqrt 3)^2 = (a^2 + 3b^2) + 2ab \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ wählen (mit $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ "unabhängig" zu $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ ) und damit sucht man $\begin{eqnarray*} a^2 + 3b^2 = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2ab = 1 \end{eqnarray*}$ , da auf der rechten Seite dann $\begin{eqnarray*} 2 + \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ steht. Aus der zweiten Gleichung bekommt man $\begin{eqnarray*} b = \frac 1 {2a} \end{eqnarray*}$ und damit in der ersten Gleichung eingesetzt: $\begin{eqnarray*} 4a^4 - 8a^2 + 3 = 0 \end{eqnarray*}$ . Die biquadratische Gleichung hat die Lösungen $\begin{eqnarray*} a \in \left\{ \pm \frac {\sqrt 2} 2, \pm \frac { \sqrt 6 } 2\right\} \end{eqnarray*}$ .

Damit ist $\begin{eqnarray*} (a+b\sqrt 3)^2 = 2 + \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ und man kann die Wurzel auf der linken Seite ziehen.

Warum das bei dem zweiten Ausdruck nicht geht, müssen wohl Leute wie HAL, Elvis, vierundzwanzig oder Huggy beantworten. Ich habe zu wenig Verständnis der Theorie. Versucht man jedoch den analogen Ansatz $\begin{eqnarray*} (a+b\sqrt 5)^2 = (a^2 + 5b^2) + 2ab \sqrt 5 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} a^2 + 5 b^2 = 5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2ab = 1 \end{eqnarray*}$ bekommt man die quadratische Gleichung $\begin{eqnarray*} 4 a^4- 20 a^2 + 5 = 0 \end{eqnarray*}$ , was wiederrum "doppelte" Wurzelausdrücke liefert und man somit nichts gewonnen hat.

01.05.2023, 12:45

Mathema

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Siehe dazu auch Wiki.

01.05.2023, 16:29

Ulrich Ruhnau

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@IfindU
Danke! Ich werde das mal nachrechnen. Schon wieder habe ich was dazu gelernt.
@Mathema
Ja, da lande ich im Dschungel der Zahlentheorie. Eigentlich wollte ich mich immer schon mal dahin verirren. Kennt jemand ein gutes Buch oder Werk, das mit praktischen Beispielen erklärt und nicht so schrecklich formal ist? verwirrt

01.05.2023, 17:46

Elvis

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Nichts im Universum hat weniger mit Praxis zu tun als Zahlentheorie. Bis 1975 die Kryptologie sich ein paar Schnipsel zunutze gemacht hat, waren wir richtig zufrieden damit, dass niemand ausser reinen MathematikerInnen etwas mit Zahlentheorie anfangen kann.
Weil es algebraische, analytische und algorithmische Zahlentheorie gibt, lernt man als Zahlentheoretiker auch jede Menge Algebra, Funktionentheorie und Informatik. Zusammen mit Riemannschen Flächen und Dirichlets Geometrie der Zahlen genügt mir das als praktische Anwendung vollauf.

01.05.2023, 23:46

Leopold

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[Off-Topic]

Zitat:

Original von Elvis
... MathematikerInnen ... Zahlentheoretiker ...

Wie kannst du es wagen, die vielen Zahlentheoretikerinnen zu unterschlagen! Du glaubst in deiner machistischen Art wohl, Rechnen sei nur Männersache und Frauen seien zu blöd dafür! böse

Jaja, mit dem Tschändern ist das gar nicht so einfach. Privat kann das jeder halten, wie er will, solange nur andere nicht dazu genötigt werden. unglücklich

Ich persönliche sehe darin eine Sprachverhunzung, die von oben durchgedrückt werden soll. Ich halte mich lieber an die gewachsene deutsche Sprache und Grammatik. Sie ist viel zu schön, um sie durch I's abzusperren und im Sternenhagel kaputtgehen zu lassen. Ich bin halt ein alter unverbesserlicher Ästhet.

In diesem Sinne: Prost

(Ein Trinker bin ich also auch...)

[/Off-Topic]

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