Schnittwinkel zweier Graphen

30.04.2023, 16:25	Cinzio22	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittwinkel zweier Graphen Hallo miteinander Im Formelheft habe ich gelesen, dass sich der Schnittwinkel folgendermassen berechnet: $\begin{eqnarray} \alpha = tan^{-1} ( \|\frac{m_1 - m_2}{1+m_1 \cdot m_2} \| ) \end{eqnarray}$ Ist diese Formel äquivalent zu: $\begin{eqnarray} \alpha = \| \arctan( f(a) ) - \arctan( g(a) ) \| \end{eqnarray}$ , wobei a die Schnittstelle ist? Oder worin liegt der Unterschied, falls es einen geben sollte?
30.04.2023, 21:08	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittwinkel zweier Graphen Wenn überhaupt, sollte es wohl $\begin{eqnarray} \alpha = \| \arctan( f'(a) ) - \arctan( g'(a) ) \| \end{eqnarray}$ heißen. Die Formeln sind aber offenbar nicht äquivalent, da man leicht ein Gegenbeispiel finden kann. Als Schnittwinkel zweier Funktionen wird man normalerweise immer denjenigen < 90° angeben wollen, jedoch erhält man bei Deinem Vorschlag z. B. für $\begin{eqnarray} f(x)=2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(x)=-3x \end{eqnarray}$ den Nebenwinkel. Zur Berechnung von Schnittwinkeln von Funktionen würde ich generell gar nicht auf eine Formel zugreifen. Wenn man die beiden Steigungen an der Stelle a kennt, kann man sich mittels Skizze leicht die Konstellation im Koordinatensystem veranschaulichen. Aus dem Wissen, dass der Arcustangens immer Werte zwischen -90° und 90° zurückgibt, folgt dann der Schluß, wie man die Teilergebnisse zu interpretieren hat.
30.04.2023, 22:08	Cinzio22	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittwinkel zweier Graphen Danke für die Korrektur - das stimmt. Habe die Ableitungsstriche vergessen. Ok, wenn man aber angibt, dass der gesuchte Winkel der kleinere Wert zwischen \| Alpha - Beta \| und 180° - \| Alpha - Beta \| ist, dass sind die beiden Formel schon äquivalent. Oder nicht? (Wobei Alpha = arctan(f'(a)) und Beta = arctan(g'(a)) )
30.04.2023, 22:44	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittwinkel zweier Graphen Sieht so aus, als ob es mit einer Fallunterscheidung klappt. Mit einem Zusatz: Dein Vorschlag funktioniert auch, wenn sich die Funktionen senkrecht schneiden. Die Formel aus dem Formelheft wäre dann nicht definiert. Im übrigen läßt sich die Formel aus dem Formelheft zwar herleiten, ich habe sie aber nie benutzt und kann sie daher nicht groß kommentieren.
30.04.2023, 23:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Geraden mit den Steigungen $\begin{align} m_1 \end{align}$ und $\begin{align} m_2 \end{align}$ haben die Richtungsvektoren $\begin{align} \begin{pmatrix} 1 \\ m_1 \end{pmatrix} \end{align}$ und $\begin{align} \begin{pmatrix} 1 \\ m_2 \end{pmatrix} \end{align}$ , so daß sich mit der bekannten Cosinus-Formel für den Schnittwinkel $\begin{align} \delta \end{align}$ der Geraden das Folgende ergibt: $\begin{align} \cos(\delta) = \frac{\left\| 1 + m_1m_2 \right\|}{\sqrt{1+{m_1}^2} \cdot \sqrt{1+{m_2}^2}} \end{align}$ Die Betragsstriche im Zähler sorgen dafür, daß sich kein stumpfer Winkel als Schnittwinkel ergibt. Wenn einem spitz oder stumpf egal ist, kann man auf sie verzichten
01.05.2023, 16:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind die beiden Steigungen m1 und m2 und ist m2 die Steigung jener Geraden, die den größeren Winkel mit der positiven x-Achse einschließt, so gibt $\begin{eqnarray} \tan \varphi = \frac{m_2-m_1}{1 + m_1m_2} \end{eqnarray}$ den nach oben gerichteten Schnittwinkel der beiden Geraden an. Die Formel stammt übrigens aus dem 1. Addiotionstheorem $\begin{eqnarray} \tan (\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \end{eqnarray}$ mY+
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