Wann überlappt die Wurzelschnecke?

30.04.2023, 22:51

Malcang

Wann überlappt die Wurzelschnecke?

Hallo zusammen,

ich bin erst kürzlich auf die Wurzelschnecke gestoßen. Nun habe ich die mal gezeichnet und mich dabei gefragt, wann überlappt sie mit dem ersten gezeichneten Dreieck.
Bezeichnen $\begin{eqnarray*} \alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_n, \dots, \end{eqnarray*}$ jeweils den Winkel des $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Dreiecks, an denen alle Dreiecke zusammenlaufen. Hier also der "Mittelpunkt":
[attach]57023[/attach]
Nun wollte ich wissen, wieviele Dreiecke ich zeichnen muss, damit die Spirale einmal, zweimal, $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -mal überlappt.
Die einzelnen Winkel kann ich ja berechnen durch $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha_n) = \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ . Um eine Überlappung zu erreichen muss also gelten: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^N\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{n}}\geq 2\pi \end{eqnarray*}$ , wobei hier der Arkuscosinus gemeint ist.
Aber bekomme ich das analytisch hin? verwirrt

Ich sehe keinen Ansatz.

01.05.2023, 15:56

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wann überlappt die Wurzelschnecke?

Zitat:

Original von Malcang
Die einzelnen Winkel kann ich ja berechnen durch $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha_n) = \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ .

Das ist nicht korrekt.

Schaue auch mal in

https://oeis.org/A072895

nach.

01.05.2023, 16:40

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man sich die Schnecke in offensichtlicher Weise in einem Koordinatensystem vorstellt, kann man die Steigung $\begin{align*} a_n \end{align*}$ der $\begin{align*} \sqrt{n} \end{align*}$ -Strecke betrachten. Sie läßt sich mit Hilfe des Additionstheorems des Tangens rekursiv ermitteln (daß der Cosinus die falsche trigonometrische Funktion ist, hat Huggy schon bemerkt).

$\begin{align*} \begin{cases} a_2 = 1 & \\ a_{n+1} = \frac{\sqrt{n} \cdot a_n + 1}{\sqrt{n} - a_n}, & n \geq 2 \end{cases} \end{align*}$

Bei jedem zweiten Wechsel von negativ nach positiv findet eine weitere Überlappung statt:

$\begin{align*} \color{green} a_2 \ \ a_3 \ \ \color{red} a_4 \ \ \ldots \ \ a_6 \ \ \color{green} a_7 \ \ \ldots \ \ a_{11} \ \ \color{red} \ \ a_{12} \ \ \ldots \ \ a_{17} \ \ \color{green} \ \ a_{18} \ \ \color{black} \ldots \end{align*}$

Die erste Überlappung gibt es also bei der Konstruktion von $\begin{align*} \sqrt{18} \end{align*}$ .

Hier noch der Java-Code zur Berechnung der Steigung:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:

private double steigung(int n) {
double alt,wurzel;
if (n<2) return 0.0;
  else if (n==2) return 1.0;
  else {
    alt = steigung(n-1); wurzel=Math.sqrt(n-1);
    return (wurzel*alt+1)/(wurzel-alt);
  }
}

02.05.2023, 10:02

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen ihr beiden,

vielen Dank für eure Antworten. Anstantt $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ hätte ich $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ schreiben sollen.

Ich werde mich mit euren Hinweisen nochmal auseinandersetzen. Danke sehr Freude

02.05.2023, 10:24

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Malcang
Anstatt $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ hätte ich $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ schreiben sollen.

Stimmt aber auch nur mit einer Indexverschiebung: Tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} \tan\left(\alpha_n\right) = \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \sin\left(\alpha_n\right) = \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$ .

Bei der Überprüfung der Überlappungsbedingung geht es also alternativ um $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \geq 2\pi \end{eqnarray*}$ oder gleichbedeutend um $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^{N+1} \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \geq 2\pi \end{eqnarray*}$ .

@Leopold

Zeile 4 deines Codes kann auch entfallen. Augenzwinkern

02.05.2023, 10:31

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke HAL da war ich wieder mal zu voreilig geschockt

02.05.2023, 15:22

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
@Leopold

Zeile 4 deines Codes kann auch entfallen. Augenzwinkern

Was für ein Glück, daß $\begin{align*} \sqrt{1}=1 \end{align*}$ und $\begin{align*} \frac{1 \cdot 0 + 1}{1-0}=1 \end{align*}$ ist! Dabei hatte ich $\begin{align*} \operatorname{steigung}(n)=0 \end{align*}$ für $\begin{align*} n<2 \end{align*}$ nur festgelegt, um im undefinierten Fall einen vom Programmierer kontrollierten default-Wert zu haben. Daß dieser die Rekursion einen Schritt zurückzieht, geschah unabsichtlich.

02.05.2023, 16:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Glück hat das m.E. nichts zu tun, sondern stattdessen mit der leeren Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^0 \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Wann überlappt die Wurzelschnecke?

Verwandte Themen