Faktorisierung in Z

01.05.2023, 14:54	Studi01052023	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorisierung in Z Hallo, Wenn ich $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_{17} \end{eqnarray}$ zugrunde lege, wie faktorisiert man dann $\begin{eqnarray} (X^2+4)=(X-a)(X+a) \end{eqnarray}$ ? Dies liefe ja auf $\begin{eqnarray} 4 = -a^2 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_{17} \end{eqnarray}$ hinaus? Gibt es ein gezieltes Vorgehen, um hier die Lösung zu erhalten?
01.05.2023, 15:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da es sich um ein quadratisches Polynom handelt, kann es nur faktorisiert werden, wenn es eine Nullstelle $\begin{align} a \end{align}$ besitzt. Ich würde hier einfach probieren. So viele Elemente besitzt $\begin{align} \mathbb{Z}_{17} = \left\{ 0, \pm 1, \pm 2, \ldots, \pm 8 \right\} \end{align}$ ja nicht. Die Fragestellung läuft auf die zahlentheoretische Frage hinaus, ob -4 ein quadratischer Rest modulo 17 ist.

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