Wachstumsverhalten. Konvergenzradius der Taylorreihe

01.05.2023, 18:09

kornelthefirst

Wachstumsverhalten. Konvergenzradius der Taylorreihe

Meine Frage:
Es gebe die Konstanten $\begin{eqnarray*} 0<C_1<C_2 \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} C_1^n \cdot n! \leq | f^{(n)}(x) | \leq C_2^n \cdot n! \end{eqnarray*}$
Ich muss eine Taylor-Reihe bestimmen in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} R_1,R_2>0 \end{eqnarray*}$ , so dass sie auf die Intervall $\begin{eqnarray*} (x_0-R_1,x_0+R_1) \end{eqnarray*}$ gegen f konvergiert und auf $\begin{eqnarray*} [x_0-R_2,x_0+R_2] \end{eqnarray*}$ divergiert

Meine Ideen:
Wenn ich schon eine Funktion habe, kann ich R bestimmen, aber so eine Aussage, die auf jede Funktion gilt, kann man auch stellen?
Die einzige Einschränkung ist, dass die Funktion immer zwischen diese zwei Konstanten ist, aber sogar das ist auch nur eine schwache Einschränkung. Mit Sandwich Regel kam ich auch nicht näher, weil
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 0} C_1 = \lim_{n \to 0} C_2 = 1 \end{eqnarray*}$
kann man nicht verwenden, $\begin{eqnarray*} n \neq 0 \end{eqnarray*}$

Ich weiß, es ist nicht viel, aber ich weiß nicht wie ich weiter könnte...
Danke

02.05.2023, 10:58

HAL 9000

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Du hast es nicht dazu gesagt, aber ich verstehe es so, dass die Ungleichung

Zitat:

Original von kornelthefirst
$\begin{eqnarray*} C_1^n \cdot n! \leq | f^{(n)}(x) | \leq C_2^n \cdot n! \end{eqnarray*}$

für ALLE reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gelten soll.

Für festes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert die Taylorreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}\left(x_0\right)}{k!}\cdot \left(x-x_0\right)^k \end{eqnarray*}$ genau dann gegen den Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , wenn das Taylorrestglied in der Lagrange-Form $\begin{eqnarray*} R_n = \frac{f^{(n)}\left(\xi_n\right)}{n!}\cdot \left(x-x_0\right)^n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge bildet (Symbolik $\begin{eqnarray*} \xi_n \end{eqnarray*}$ deshalb, weil diese Stellen nicht nur von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sondern auch vom Index $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängen können).

Versuch doch mal damit unter Einbeziehung der vorausgesetzten Doppelungleichung, Erkenntnisse zur Konvergenz bzw. Divergenz der Taylorreihe zu gewinnen.

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