Wahrheitswert von Aussagen

01.05.2023, 21:48

Patrick1990

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Wahrheitswert von Aussagen

Hallo,
ich schaue mir gerade eine Aufgabe zum Wahrheitswert von Aussagen an, welcher bestimmt werden soll. Ich würde gern lernen, wie man dabei korrekt argumentiert. Könnt ihr mir helfen?

a) $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R\,\exists y \in \mathbb R: x+y=0 \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \exists x\in \mathbb R\,\forall y \in \mathbb R: x+y=0 \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \forall x\,\forall y: y=x^2 \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R\,\exists y \in \mathbb R: xy=1 \end{eqnarray*}$
e) $\begin{eqnarray*} \forall x\in (0,1]\,\exists y \in [0,1]: y<x \end{eqnarray*}$

02.05.2023, 08:40

Elvis

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Übersetze jede einzelne formale Aussage in einen einzelnen vollständigen deutschen Satz, bestehend aus Worten und Satzzeichen. Dann entscheidest du für jeden einzelnen Satz, ob er entweder richtig oder falsch ist. Die zugehörige Aussage ist genau dann wahr, wenn der Satz richtig ist. Die zugehörige Aussage ist genau dann falsch, wenn der Satz falsch ist.

02.05.2023, 08:49

Patrick1990

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Danke, also muss ich da nichts speziell begründen?

Ich würde folgende Lösungen vorschlagen:

a) wahr
b) wahr
c) falsch
d) falsch
e) falsch

Passt das so?

02.05.2023, 09:11

Elvis

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Das passt nicht, warum sollte das auch so einfach sein? Du hast anscheinend nur geraten. Warum machst du nicht das, was ich vorschlug? Du solltest fünf mal übersetzen, entscheiden, Wahrheitswert feststellen. Ich sehe keine Übersetzung, und ich kann deine Entscheidungen nicht nachvollziehen.

02.05.2023, 11:02

Patrick1990

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Ich habe nicht geraten und gemacht, was du vorgeschlagen hast.
Aber für dich schreibe ich es gern nochmal aus:

a) Für alle x Element der reellen Zahlen existiert ein y Element der reellen Zahlen für das/die gilt: x+y = 0
Das ist meiner Meinung nach wahr.

b) Für alle y Element der reellen Zahlen existiert ein x Element der reellen Zahlen für das/die gilt: x+y = 0
Das ist meiner Meinung nach auch wahr.

Bevor ich alles falsch mache, würde ich dich gern um Korrektur bitten.

02.05.2023, 13:24

Elvis

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1. Die Übersetzung von Aussage in Sprache muss richtig sein. Das ist bei dir nicht der Fall.

a) Für alle reellen Zahlen x gibt es jeweils eine reelle Zahl y, so dass die Summe x+y gleich 0 ist.
b) Es gibt eine reelle Zahl x, so dass für alle reellen Zahlen y die Summe x+y gleich 0 ist.

Es ist wichtig, dass der Satz die Reihenfolge von Teilaussagen beibehält, und man macht ihn dadurch lesbar, dass man die Begriffe einfacher und deutlicher ausdrückt (das Erstere z.B. reelle Zahl statt Element der reellen Zahlen, das Letztere habe ich durch Unterstreichungen versucht).

2. Es geht nicht um eine Meinungsumfrage, deine Meinung spielt in der Mathematik im allgemeinen keine Rolle. Du sollst eine Entscheidung treffen, nicht aufgrund deines Gefühls sondern aufgrund inhaltlicher und folgerichtiger Überlegungen, die du auch begründen kannst und musst.

z.B. a) Der Satz ist richtig, weil zu jeder reellen Zahl x die negative reelle Zahl y=-x existiert, und die Summe x+y=x-(-x) immer 0 ist. [3. Also ist die Aussage a) wahr.]
b) ??? Da hast du ein Problem.

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02.05.2023, 18:53

Patrick1990

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So wie du es schreibst macht es Sinn. Wieso gibt es denn aber bei a) das Wort jeweils und bei b) nicht? Sowas entnehme ich der Notation leider nicht.

02.05.2023, 19:30

Elvis

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Der Allquantor $\begin{eqnarray*} \forall x: E(x) \end{eqnarray*}$ wird gelesen als "für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} E(x) \end{eqnarray*}$ ", kann aber auch heißen "für jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} E(x) \end{eqnarray*}$ " oder "jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hat die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ".

Weder die Formeln noch die Sätze der formalen bzw. natürlichen Sprache sind eindeutig. Übersetzung ist Sinngebung, sagte schon Hieronymus vor 2000 Jahren: https://www.lit-verlag.de/isbn/978-3-643-11864-6 Bei a) passt das "jeweils" zu der Formel, bei b) absolut nicht - sagt mein sinngebendes Sprachgefühl.

$\begin{eqnarray*} \exists x = \end{eqnarray*}$ "Es gibt ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ " sagt, es gibt mindestens eines, und legt damit auch schon eines fest. Alles was danach kommt, bezieht sich auf das eine $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , das es gibt.

03.05.2023, 08:49

Patrick1990

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Ok, so würde es für mich Sinn machen. Habe ich nur leider nicht aus der Notation erkannt.
Also b) falsch

c) Für jedes x (und) für jedes y gilt: y=x^2 --> falsch
d) Für alle reellen Zahlen x existiert jeweils eine reelle Zahl y, so dass x*y=1
Wenn man also y=1/x wählt ist das wahr --> wahr
e) Für jedes x aus dem Intervall 0<x<=1 existiert jeweils ein y aus dem Intervall 0<=y<=1 für das gilt: y<x.
Hier habe ich noch Probleme. wenn ich nur das x vorgebe und dann ein y passend wähle geht das.
Wenn man jedoch y=1 vorgibt, geht es nicht.

03.05.2023, 11:09

Elvis

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Du denkst nicht genau genug nach, deswegen hast du manchmal richtig geraten und manchmal falsch geraten und manchmal gar nicht geraten. So kommst du nicht weiter, du musst viel mehr denken und logische Schlüsse ziehen und alle Antworten ausführlich begründen. Es geht doch nur um Dinge, die dir aus der Schule längst bekannt sind, du darfst nicht alles vergessen, was du schon weißt.

03.05.2023, 11:12

Patrick1990

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Zitat:

Original von Elvis
Du denkst nicht genau genug nach, deswegen hast du manchmal richtig geraten und manchmal falsch geraten und manchmal gar nicht geraten. So kommst du nicht weiter, du musst viel mehr denken und logische Schlüsse ziehen und alle Antworten ausführlich begründen. Es geht doch nur um Dinge, die dir aus der Schule längst bekannt sind, du darfst nicht alles vergessen, was du schon weißt.

Ich habe es doch so begründet, wie es für mich schlüssig ist. Es wäre schön, wenn du mir diesbezüglich weiter helfen könntest. Wo sind die Fehler und was muss ich tun, um sie nicht wieder zu machen?
Nicht jeder hat dein mathematisches Wissen - tut mir Leid.

03.05.2023, 11:19

Elvis

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b) und c) Warum?
d) x=0 unglücklich

unglücklich

e) wähle y=0 ODER wähle y=x/2 ODER eine beliebige andere reelle Funktion 0<=y=f(x)<x

In der gesamten Aufgabe ist kein mathematisches Wissen gefragt sondern Denken mit handelsüblichem Verstand.

03.05.2023, 11:33

Patrick1990

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Ok jetzt bin ich ganz raus:

Du schreibst:
b) Es gibt eine reelle Zahl x, so dass für alle reellen Zahlen y die Summe x+y gleich 0 ist.

Ich nehme jetzt eine Zahl x=1. Nun soll für alle reellen Zahlen y (also beliebige Zahlen) die Summe von x+y Null ergeben.
Wenn ich jetzt bspw. ein y=10 habe, ergibt da für mich die Summe aus 1 und 10 nicht Null.
Also ist für mich die Formulierung als Satz scheinbar nicht eindeutig (in meinem Sprachgebrauch).
Wo liegt nun der Fehler?

"In der gesamten Aufgabe ist kein mathematisches Wissen gefragt sondern Denken mit handelsüblichem Verstand." - Das wage ich zu bezweifeln. Mit handelsüblichem Verstand würde man die Symbole nicht einmal übersetzt bekommen.
Aber das, finde ich, gehört hier nicht her und diese Aussagen dienen auch absolut nicht der Lösung der Aufgabe sondern eher der Diskriminierung von Menschen, die einen geringeren Wissensstand haben.

03.05.2023, 11:50

Elvis

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Du verstehst alles falsch. Offenbar ist es mir nicht möglich, dich zum Nachdenken zu überreden. Wenn du mir jetzt auch noch unlautere Absichten unterstellst, spiele ich nicht mehr mit.

03.05.2023, 11:55

Patrick1990

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Ich unterstelle dir das nicht, aber ich finde es nicht zielführend, wenn du schreibst, dass doch alles so einfach wäre und man dafür nur handelsüblicher Verstand notwendig wäre.

Viel schöner wäre es, wenn du mir etwas zu meiner Frage schreiben würdest. Ich würde es ja gern verstehen, jedoch kam bisher noch nichts an. Nachgedacht habe ich mittlerweile eine Menge darüber. Wie gesagt bin ich jetzt noch mehr durcheinander als zuvor.

Wenn ich bei b) den Satz ändere in "es existiert ein beliebiges x...", so würde für mich die Aussage mehr Sinn machen und ich würde sie mit Wahr bezeichnen.

Nochmal zusammenfassend nach erneuter Kontrolle und Überlegung:
a) wahr
b) falsch
c) falsch
d) falsch
e) wahr

04.05.2023, 04:13

Pippen

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RE: Wahrheitswert von Aussagen

Zitat:

Original von Patrick1990
Hallo,
ich schaue mir gerade eine Aufgabe zum Wahrheitswert von Aussagen an, welcher bestimmt werden soll. Ich würde gern lernen, wie man dabei korrekt argumentiert. Könnt ihr mir helfen?

a) $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R\,\exists y \in \mathbb R: x+y=0 \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \exists x\in \mathbb R\,\forall y \in \mathbb R: x+y=0 \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \forall x\,\forall y: y=x^2 \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R\,\exists y \in \mathbb R: xy=1 \end{eqnarray*}$
e) $\begin{eqnarray*} \forall x\in (0,1]\,\exists y \in [0,1]: y<x \end{eqnarray*}$

Du kannst nicht sagen, ob diese Aussagen wahr oder falsch sind. Alles was du sagen kannst ist dies: Angenommen die Axiome der reellen Zahlen, ZFC und der hier einschlägigen Logik (sind wahr), dann ist zB die erste Aussage wahr, weil sie aus den (wahr angenommenen) Axiomen mittels wahrheitserhaltender Schlüsse folgt, was du freilich zeigen musst; das nennt man dann „Beweis“. Manchmal kannst du auch beweisen, dass eine Aussage falsch ist, zB wenn du daraus mittels der Axiome etwas Falsches/Widersprüchliches folgerst; das nennt man Widerlegung. Und dann gibt es da noch den Fall, dass du eine Aussage weder beweisen noch widerlegen kannst; dann kannst du nur sagen, dass sie wahr oder falsch ist, aber nichts was von beiden.

c) dürfte zB wg. fehlender Eingrenzung auf Zahlen falsch sein. Denn dann kann man alles Mögliche für x,y einsetzen, zB Städtenamen, und dann wäre y sicher nicht x^2, weil das nur auf Zahlen passt.

04.05.2023, 08:56

Elvis

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c) hast du gut erkannt.
a) - e) Man muss nicht jedesmal, wenn man den Wahrheitswert einer mathematischen Aussage feststellen will, mit den Axiomen einer Theorie anfangen und formal logische Beweise führen. In diesem Beispiel geht es nur darum, die Aussagen zu verstehen und mit dem bekannten Schulwissen begründet zu beurteilen.
(Bertrand Russell braucht in der Principia Mathematica 100 Seiten für den Beweis, dass 1+1=2 ist. Wir haben das Recht, ganz einfach festzustellen, dass 1+1=2 eine wahre Aussage über natürliche Zahlen ist.)

05.05.2023, 08:36

zweiundvierzig

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Die Formel in (c) ist erfüllbar in der Struktur $\begin{eqnarray*} (\{1\},\cdot) \end{eqnarray*}$ (triviale Gruppe).

05.05.2023, 09:49

laila49

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Zitat:

Original von Elvis

(Bertrand Russell braucht in der Principia Mathematica 100 Seiten für den Beweis, dass 1+1=2 ist. Wir haben das Recht, ganz einfach festzustellen, dass 1+1=2 eine wahre Aussage über natürliche Zahlen ist.)

mein Prof hat vor über 50 Jahren 5 Tafelseiten und eine Doppelstunde gebraucht. Nach der Vorlesung fragte ich Kommilitonen andere Fachrichtungen, was 1+1 ist. Die wussten das alle schon...

05.05.2023, 11:11

Elvis

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Es genügt, Leibniz, Dedekind und Frege zu studieren, dann lässt sich 1+1=2 einigermaßen begreifen. Kant und andere Philosophen würde ich da nicht zu Rate ziehen, das verwirrt bei dieser grundlegenden Frage.

05.05.2023, 11:21

Finn_

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In der Peano-Arithmetik findet sich laut Definition

$\begin{eqnarray*} a + 0 := a,\qquad a+s(b) := s(a+b) \end{eqnarray*}$

mit den Regeln

$\begin{eqnarray*} \dfrac{\Gamma\vdash t = t'}{\Gamma\vdash f(t)=f(t')},\qquad\dfrac{\Gamma\vdash t=t'\qquad \Gamma'\vdash t' = t''}{\Gamma,\Gamma'\vdash t=t''} \end{eqnarray*}$

und Notation $\begin{eqnarray*} 1:=s(0) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 2:=s(s(0)) \end{eqnarray*}$ der Beweisbaum:

$\begin{eqnarray*} \dfrac{\dfrac{\dfrac{\dfrac{\dfrac{}{\vdash a + s(b) = s(a+b)}}{\vdash a + s(0) = s(a + 0)}[b:=0]\qquad\dfrac{\dfrac{}{\vdash a+0 = a}}{\vdash s(a+0) = s(a)}}{\vdash a + s(0) = s(a)}}{\vdash s(0)+s(0) = s(s(0))}[a:=s(0)]}{\vdash 1 + 1 = 2} \end{eqnarray*}$

05.05.2023, 11:48

Finn_

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Wobei der letzte Schritt streng genommen mit $\begin{eqnarray*} f(x):=x+x \end{eqnarray*}$ als

$\begin{eqnarray*} \dfrac{\dfrac{\dfrac{\dfrac{}{\vdash 1 = s(0)}}{\vdash 1 + 1 = s(0) + s(0)}\,f\qquad\dfrac{\text{wie zuvor}}{\vdash s(0)+s(0) = s(s(0))}}{\vdash 1 + 1 = s(s(0))}\qquad \dfrac{\dfrac{}{\vdash 2=s(s(0))}}{\vdash s(s(0))=2}}{\vdash 1 + 1 = 2} \end{eqnarray*}$

zu formalisieren wäre.

05.05.2023, 11:52

Elvis

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Ich bevorzuge, diese Axiome der historischen Gerechtigkeit wegen Dedekind - Peano - Axiome zu nennen. Man sollte aber auch darauf hinarbeiten, sich selbst eine fundierte Meinung zu bilden, weil auch die von mir genannten Mathematiker Richard Dedekind und Gottlob Frege sich absolut nicht einig werden konnten, obwohl oder weil beide ihr ganzes Leben lang über die natürlichen Zahlen nachgedacht haben.

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