Bestimmung von Fourierkoeffizienten

05.05.2023, 10:43

omegaTM

Bestimmung von Fourierkoeffizienten

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zur Fouriereihe bzw. speziell zu den Koeffizienten.
Aktuell sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht, die Aufgabe scheint ziemlich leicht zu sein, allerdings
verkompliziere ich mir alles.

Es ist ein Signal gegeben, welches sich aus 4 weiteren Signalen zusammensetzt.
Wie die Funktionsgleichung für die 4 Signale lautet, kann man ablesen.
Kurzum man soll a0, a1 bis a5, sowie b1 bis b5 bestimmen.

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{i=1}^{N}a_{i}\cos \left ( i\omega_{0}t \right )+\sum_{i=1}^{N}b_{i}\sin \left ( i\omega_{0}t \right ) \end{eqnarray*}$

Da Drei der Vier einzelnen Signale nur jeweils aus Sinusschwingungen bestehen,
fällt der Aufsummierung mit dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ weg, da kein Kosinus vorhanden ist.
Eines der Signal ist einfach $\begin{eqnarray*} f(x)=1 \end{eqnarray*}$ , daher würde ich sagen $\begin{eqnarray*} a_{0}=2 \end{eqnarray*}$ , da das zusammengesetzte Signal auch um 1 nach oben verschoben ist.

Allerdings hatte ich bisher immer gedacht, die $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{i} \end{eqnarray*}$ stellen die Amplituden einer Schwingung dar. Und so hätte ich gesagt, wenn angenommen das zweite Signal $\begin{eqnarray*} f_{2}(x)=\frac{1}{2}\sin \left ( i\omega t \right ) \end{eqnarray*}$ wäre, dann ist doch $\begin{eqnarray*} a_{2}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Oder ich liege komplett falsch und habe das Thema bisher noch nicht so wirklich verstanden.

05.05.2023, 11:08

Steffen Bühler

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RE: Bestimmung von Fourierkoeffizienten

Zitat:

Original von omegaTM
Wie die Funktionsgleichung für die 4 Signale lautet, kann man ablesen.

Wo?

Viele Grüße
Steffen

05.05.2023, 12:09

omegaTM

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RE: Bestimmung von Fourierkoeffizienten

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Wo?

Viele Grüße
Steffen

Ich habe die Schwingungen mal in Geogebra geplottet, leider konnte ich die Werte der Y-Achse nicht in Brüchen darstellen.
Der obere Schwingung setzt sich aus den unteren 4 zusammen. Natürlich sind die Funktionsgleichungen nicht im angegeben. Man erkennt aber die Funktionsgleichungen z.B Bild 4 (3. Schwingung), da vollzieht das Signal 3 Schwingungen in 1 Sekunde.
Somit lautet diese Funktionsgleichung: $\begin{eqnarray*} f_{3}(t)=\frac{1}{3}\sin \left ( 1\cdot 2\pi \cdot 3t \right ) \end{eqnarray*}$

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05.05.2023, 12:24

Steffen Bühler

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RE: Bestimmung von Fourierkoeffizienten
Ja, das ist in der Tat $\begin{eqnarray*} f(t)=1+\sin (2 \pi t)+\frac 13 \sin (3 \cdot 2 \pi t)+\frac 15 \sin (5 \cdot 2 \pi t) \end{eqnarray*}$ :

Ansonsten sind Deine Ideen korrekt, Du kannst die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_0, b_1, b_3, b_5 \end{eqnarray*}$ direkt hinschreiben.

05.05.2023, 12:34

omegaTM

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RE: Bestimmung von Fourierkoeffizienten

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ansonsten sind Deine Ideen korrekt, Du kannst die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_0, b_1, b_3, b_5 \end{eqnarray*}$ direkt hinschreiben.

Vielen Dank. Aber warum heißen die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} b_1, b_3, b_5 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} b_1, b_2, b_3 \end{eqnarray*}$ .
Das verwirrt mich.

Ich habe vier einzelne Signale.
$\begin{eqnarray*} b_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_2=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_3=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_4=\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_5=0 \end{eqnarray*}$ weil es nur 4 Schwingungen gibt und somit nur 4 Koeffizienten.

Edit:

Okay, habe gerade nochmal nachgedacht.

$\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ Der Index i steht für die Anzahl der Schwingungen, sprich wenn der Sinus 3 Schwingungen zurücklegt ist $\begin{eqnarray*} i=3 \end{eqnarray*}$ , da sich das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ auf die Anzahl der Schwingungen bezieht.
$\begin{eqnarray*} \omega =2\cdot \pi \end{eqnarray*}$ ist eine Schwingung und 3 Schwingungen sind eben $\begin{eqnarray*} 3\cdot 2\cdot \pi \end{eqnarray*}$

05.05.2023, 12:40

Steffen Bühler

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RE: Bestimmung von Fourierkoeffizienten
Schau Dir die Formel an:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{N}b_{i}\sin \left ( i\omega_{0}t \right ) \end{eqnarray*}$

Zu jeder ganzzahligen Vielfachen $\begin{eqnarray*} i \cdot \omega_{0} \end{eqnarray*}$ der Grundfrequenz $\begin{eqnarray*} \omega_{0} \end{eqnarray*}$ gibt es also einen Koeffizienten mit dem Index $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ . Die Koeffizienten werden nicht einfach durchnummeriert, sondern gehören fest zur entsprechenden Harmonischen.

Hier gibt es nur drei Harmonische (Grundfrequenz, dritte und fünfte Harmonische), somit sind $\begin{eqnarray*} b_2=b_4=0 \end{eqnarray*}$ .

05.05.2023, 13:24

omegaTM

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RE: Bestimmung von Fourierkoeffizienten

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Die Koeffizienten werden nicht einfach durchnummeriert, sondern gehören fest zur entsprechenden Harmonischen.

Hier gibt es nur drei Harmonische (Grundfrequenz, dritte und fünfte Harmonische), somit sind $\begin{eqnarray*} b_2=b_4=0 \end{eqnarray*}$ .

Vielen Dank Steffen!

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