Jacobi Theta-Reihe

05.05.2023, 15:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jacobi Theta-Reihe Def. $\begin{eqnarray} \Omega=\mathbb Z\tau+\mathbb Z, \tau\in\mathbb H, \vartheta (z, \tau) :=\sum_{n\in\mathbb Z} e^{\pi in^2 \tau +2\pi inz} \end{eqnarray}$ Lemma. Die Reihe konvergiert absolut kompakt gleichmäßig auf $\begin{eqnarray} \mathbb C\times \mathbb H \end{eqnarray}$ . Für festes $\begin{eqnarray} \tau \in \mathbb H \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \vartheta (z, \tau) \end{eqnarray}$ eine ganze Funktion in $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ , die in den Punkten $\begin{eqnarray} \frac {\tau+1} 2+\Omega \end{eqnarray}$ Nullstellen hat. Es gilt $\begin{eqnarray} \vartheta (z+1,\tau)=\vartheta (z, \tau), \vartheta (z+\tau, \tau) =e^{-\pi i\tau-2\pi i z}\vartheta (z, \tau) \end{eqnarray}$ . Beweis. Klar. Korollar. Für alle $\begin{eqnarray} a, b, c, d\in\mathbb C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a+b-(c+d) \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f(z) =\frac {\vartheta (z-a, \tau) \vartheta(z-b, \tau) } {\vartheta(z-c, \tau) \vartheta(z-d, \tau) } \end{eqnarray}$ eine elliptische Funktion zum Gitter $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ . Koecher / Krieg schreiben zu Anfang des Kapitel I Elliptische Funktionen §6 Produkt-Entwicklungen "... wir folgen dazu der vorzüglich organisierten Darstellung von S. LANG [1987]..." Vielleicht verstehe ich deshalb diesen Paragraphen nur mit Mühe und viel Nachrechnen. Dieses Korollar verstehe ich gar nicht. Nachtrag. Nachdem ich mir hier beim Tippen den rechten Zeigefinger ruiniert habe, ist mir spontan klar geworden, dass $\begin{eqnarray} (1,\tau) \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ist. Also muss ich ja nur $\begin{eqnarray} f(z+1)=f(z+\tau)=f(z) \end{eqnarray}$ berechnen. Das erste ist trivial, das zweite ergibt den Faktor $\begin{eqnarray} e^{2\pi i(a+b-c-d)} =1 \end{eqnarray}$

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