Potenzreihe

07.05.2023, 20:20	eminemsdictionary	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe Meine Frage: Hallo, was ist die Potenzreihe von exp(i3x)= ((cos(x) + isin(x))^3 bzw. Wie bestimme ich die Reihe? Danke im Voraus Meine Ideen:* .
08.05.2023, 00:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Verwende die Potenzreihe von $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ und ersetze x durch 3ix. Nach Trennung in Real- und Imaginärteil erscheinen naturgemäß die Potenzreihen von cos(3x) (Realteil) und sin(3x) (Imaginärteil. Also könntest du auch von Anfang an bereits die bekannten Potenzreihen von cos x und sin x verwenden. $\begin{eqnarray} ... = 1 - \frac{9x^2}{2!} + \frac{81x^4}{4!} - .... + i \ \left(3x - \frac{27x^3}{3!} + \frac{243x^5}{5!} - ...\right) \end{eqnarray}$ () $\begin{eqnarray} \text{Moivre: }(\cos x + i \sin x)^3 = \cos 3x + i \sin 3x \end{eqnarray}$ mY+
08.05.2023, 08:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@eminemsdictionary So ganz klar ist mir nicht, was deine Absichten hier sind: Die Potenzreihe von $\begin{eqnarray} \exp(i\cdot 3\cdot x) \end{eqnarray}$ kann man allein aus der Exponentialreihe ableiten - wozu dann deine Erwähnung der Gleichheit mit $\begin{eqnarray} \left(\cos(x)+i\cdot\sin(x)\right)^3 \end{eqnarray}$ (d.h. Moivre)? Wenn es zusätzlich deine Absicht ist, daraus die Potenzreihen von $\begin{eqnarray} \cos(3x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sin(3x) \end{eqnarray}$ abzuleiten, dann hätte ich eher verstanden wenn du $\begin{eqnarray} \exp(i\cdot 3\cdot x) = \cos(3x) + i\cdot \sin(3x) \end{eqnarray}$ geschrieben hättest. Warum also stattdessen Moivre hier an der Stelle?

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