Vektorraum V f-unzerlegbar

07.05.2023, 20:24	Ludwig19	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum V f-unzerlegbar Meine Frage: Hallo liebes Forum! Ich quäle mich gerade mit folgender Aufgabe, die vermutlich gar nicht so schwierig ist, aber irgendwie hängt es: Seien $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Körper, $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein Vektorraum über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mathrm{dim}(V)=n \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f\in\mathrm{End}_K(V) \end{eqnarray}$ ein Endomorphismus, der durch folgende Matrix dargestellt wird: $\begin{eqnarray} A_f=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & & &0 \\ & \lambda & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots &\\ & & & \lambda & 1\\0 & & & & \lambda\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun soll gezeigt werden, dass der Vektorraum V f-unzerlegbar ist, also nicht als Summe von f-invarianten Untervektorräumen geschrieben werden kann. Als Hinweis war angegeben: Eine (hypothetische) f-invariante Zerlegung von V führte zu einer Zerlegung des charakteristischen Polynoms . Was liesse sich über die Faktoren sagen Meine Ideen: Also habe ich angenommen, dass V nicht f-unzerlegbar ist, es also f-invariante UVR $\begin{eqnarray} U_1,..., U_s \neq 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} V=U_1\oplus...\oplus U_s \end{eqnarray}$ . Nach einem Lemma der VL würde dies zu einer Zerlegung des charakteristischen Polynoms führen: $\begin{eqnarray} \chi_f(X)=\prod\limits_{i=1}^s \chi_{f\|U_i}(X) \end{eqnarray}$ Das charakteristische Polynom von f ist schnell bestimmt zu $\begin{eqnarray} \chi_f(X)=(\lambda-X)^n \end{eqnarray}$ . Nach dieser Zerlegung müsste $\begin{eqnarray} \chi_{f\|U_i}(x)=(\lambda-X)^{n_i} \end{eqnarray}$ sein, mit $\begin{eqnarray} n_1+...+n_s=n \end{eqnarray}$ . Meine Idee war nun zu zeigen, dass damit aber U_i existieren die nicht f-invariant sind und somit einen Widerspruch erzeugen. Habe aber ab dieser Stelle keinen Plan wie es weitergehen soll. Für jeden Tipp wäre ich sehr dankbar! Viele Grüße Ludwig
08.05.2023, 18:50	Ludwig19	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum V f-unzerlegbar Hat niemand eine Idee/Vorschlag? Mir ist noch aufgefallen, dass offensichtlich alle Eigenwerte nur lambda sein können auch bei den Einschränkungen... Kann man damit evtl. was machen?
08.05.2023, 19:43	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum V f-unzerlegbar Ich würde es so versuchen: In der Jordan-Normalform sieht man, dass das Minimalpolynom Grad $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ hat. Betrachtet man die Unterräume: Die Minimalpolynome der Unterräume teilen die charakteristischen Polynomen der Unterräumen. Daraus kann man folgern, dass das Minimalpolynom des ganzen Raumes der kgV dieser Minimalpolynome ist. Wenn es eine echte Aufteilung wäre, so wäre das Minimalpolynom vom Grad $\begin{eqnarray} \max\{n_1, n_2, \ldots \} < n \end{eqnarray}$ .
09.05.2023, 00:16	Ludwig19	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum V f-unzerlegbar Lieber IfindU, vielen Dank!! Das funktioniert ganz wunderbar! Dass das Minimalpolynom von Blockmatrizen gerade das kgV der Minimalpolynome der Blöcke (+Voraussetzungen mit f-invarianter Zerlegung) ist hatten wir sogar in der VL. Habe daran überhaupt nicht mehr gedacht... HG Ludwig

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »