Topologische Räume im Komplexen

09.05.2023, 23:21	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
Topologische Räume im Komplexen Es sei $\begin{eqnarray} C^{n+1} \end{eqnarray}$ \{0} der topologische Raum mit Topologie induziert von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{2n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \simeq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C^{n} \end{eqnarray}$ mit der folgenden Äquivalenzrelation: $\begin{eqnarray} (z_{1},...,z_{n+1}:<=> \exists \lambda \in \end{eqnarray}$ C\{0}, sodass $\begin{eqnarray} (z_{1},...,z_{n+1})= \lambda(w_{1},...,w_{n+1}) \end{eqnarray}$ Der komplex-projektive Raum $\begin{eqnarray} CP^{n} \end{eqnarray}$ ist gegeben durch $\begin{eqnarray} CP^{n}:= C^{n+1} \end{eqnarray}$ \{0}/~ Sei T die Quotiententopologie auf $\begin{eqnarray} CP^{n} = C^{n+1} \end{eqnarray}$ \{0}/~ Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} ( CP^{n}, T) \end{eqnarray}$ lokal Euklidisch ist. Da ich Topologie zwar sehr interessant find, ungeachtet dessen aber aktuell noch deutliche Schwierigkeiten bei den Übungen habe, folgende Anmerkungen bzw. Fragen von mir das $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{2n} \simeq C^{n} \end{eqnarray}$ hier steht dieses $\begin{eqnarray} \mathbb{2n} \end{eqnarray*}$ wohl auch für den n-dimensionalen Komplexen Raum. Ich vermute jetzt mal, dass ich diese Folge komplexer Zahlen als Polarkoordinaten darstellen muss, da es hier um die Quotiententopologie geht. Ich frage mich allerdings jetzt, ob ich hier die zum Beispiel die Zahlen von 1 bis 10,...,n als komplexe Zahlen darstellen soll und das auch als Polarkoordinaten so machen kann?. Nicht klar ist mir im Moment die lokal Euklidische Topologie. Und dann habe ich den Eindruck, dass ich wegen der Quotiententopologie möglicherweise das Klebelemma auch benötige. Mir gehen hier also einige Dinge durch den Kopf, die ich noch nicht klar einordnen kann. für hilfreich Tipps wäre ich schon dankbar.
28.05.2023, 18:00	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich schätze mal, die Äquivalenzrelation ist so definiert: $\begin{eqnarray} (z_1,...,z_{n+1}) \sim (w_1,...,w_{n+1}) :\Leftrightarrow \exists \lambda\in\mathbb C\setminus\{0\}:~ (z_1,...,z_{n+1}) = \lambda (w_1,...,w_{n+1}) \end{eqnarray}$ ? Vielleicht weißt du bereits, dass die Einheitskugel in $\begin{eqnarray} \mathbb C^{n+1} \end{eqnarray}$ lokal euklidisch ist? Falls ja, kannst du relativ leicht zeigen, dass $\begin{eqnarray} CP^n \end{eqnarray}$ homöomorph zur Einheitskugel ist. Versuch dir dafür einmal klar zu machen, wie die Äquivalenzklassen von $\begin{eqnarray} \sim \end{eqnarray}$ aussehen. Vielleicht ist es etwas anschaulicher, sich die analoge Konstruktion mal im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ (statt $\begin{eqnarray} \mathbb C^{n+1} \end{eqnarray}$ ) anzuschauen, um eine bildliche Vorstellung zu bekommen.

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