Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

10.05.2023, 03:00

Pippen

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Ich werde hier im folgenden meine Notizen zu stetigen W-Verteilungen reinstellen, zur allg. Begutachtung und Hinweisen. Meine Notizen sollen eher das Verständnis erhellen als formal puristischen Forderungen genügen, auf der anderen Seite will ich auch nicht zu weit abschweifen.

Los geht‘s:

[attach]57054[/attach]

10.05.2023, 07:50

Elvis

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Es gibt keine formal puristisch falsche Aussage, die für das Verständnis richtig ist. Eine Aussage ist entweder richtig oder falsch. Deine Aussage ist falsch.

10.05.2023, 09:53

HAL 9000

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@Pippen

Deine im ersten Satz vorgenommene Charakterisierung widerspricht komplett dem üblichen Verständnis einer stetigen Zufallsgröße:

Das lautet nämlich so, dass eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ genau dann stetig ist, wenn sie eine stetige Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ besitzt. Mit anderen Worten: Wenn $\begin{eqnarray*} P(X=t) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gilt, d.h., kein reeller Einzelwert mit einer positiven Wahrscheinlichkeit angenommen wird.

Betrachten wir z.B. eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F_X(t) = \begin{cases} 0 &\mbox{ für } x<0\\ \frac{x}{2} &\mbox{ für } 0\leq x<1\\ 1 &\mbox{ für } x\geq 1\end{cases} \end{eqnarray*}$

dann ist die nach üblichem Verständnis wegen $\begin{eqnarray*} P\left(X=1\right) = F_X(1)-F_X(1-0) = \frac{1}{2} > 0 \end{eqnarray*}$ nicht stetig - nach deiner Charakterisierung jedoch schon, da jeder Wert des Intervalls $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ angenommen werden kann...

------------------------------------------------------

Desweiteren ist zu unterscheiden zwischen stetigen und absolutstetigen Zufallsgrößen: Bei letzteren wird noch mehr gefordert, nämlich die Existenz einer Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ derart, dass

$\begin{eqnarray*} F_X(t) = \int\limits_{-\infty}^t f(\tau) ~ \dd\tau \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb{R}\qquad (*) \end{eqnarray*}$

gilt. Tatsächlich ist NICHT jede stetige Zufallsgröße auch absolutstetig, ein bekanntes Beispiel ist etwa eine Zufallsgröße, deren Verteilungsfunktion die Cantor-Funktion ist: Die ist stetig, aber fast überall konstant und "wächst" nur auf einer Lebesgue-Nullmenge, die aber dennoch überabzählbar ist. Für diese Zufallsgröße gibt es keine Dichte gemäß (*), die Zufallsgröße ist also stetig aber nicht absolutstetig.

Hinsichtlich deiner Bemerkungen zum 2.Kolmogorowschen Axiom ist anzumerken, dass dieses sich ja sowieso nur auf die Vereinigung von ABZÄHLBAREN Ereignissen bezieht. Man muss also gar nicht von Widersprüchen zu diesem Axiom fabulieren, wenn es um ÜBERABZÄHLBARE Vereinigungen geht - da ist das Axiom schlicht nicht anwendbar.

10.05.2023, 15:54

Elvis

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Die Argumentation, dass eine Fläche, die aus Säulen der Breite 0 zusammengesetzt wird, den Flächeninhalt 0 hat, kann man angesichts der Integrationstheorie in der reellen Analysis nur als absurd bezeichnen. Nicht einmal der Begriff einer stetigen reellen Funktion wurde erkannt, noch weniger der Begriff einer Zufallsvariablen. Noch mehr Ignoranz ist kaum vorstellbar.

10.05.2023, 16:50

Pippen

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Gut, dann werde ich alles nochmal neu machen. Mein Kurs definiert aber tatsächlich die stetige ZV wie ich: https://iversity.org/de/my/courses/einfu...son_units/36878

Ok, den Rest habe ich mir selbst zusammengereimt. Das muss ich wohl zukünftig vermeiden, weil da zuviele Fehler reinkommen.

10.05.2023, 23:49

HAL 9000

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Der Link nützt nur Leuten, die bei dem Verein dort einen Account haben. Also von den Lesern dieses Threads ist das vermutlich nur eine Person.

12.05.2023, 18:44

Pippen

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Neuer Versuch, ziemlich nahe an dem, was der Kurs lehrt. Der Kurs ist für Psychologen konzipiert, daher sicherlich legerer als hier einige für gut befinden würden, für mich aber gerade deshalb gut geeignet, weil man nicht so mit Formalismen erschlagen wird. Aber richtige Fehler will ich halt auch nicht drin haben.

Spezialfrage: Ist es wirklich so, dass die Punktwahrscheinlichkeit einer stetigen ZV per Definition Null ist?

[attach]57060[/attach]

12.05.2023, 19:59

Elvis

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Schon der erste Satz ist so grausam unsinnig, dass es sich nicht lohnt, weiter zu lesen.

12.05.2023, 22:27

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Schon der erste Satz ist so grausam unsinnig, dass es sich nicht lohnt, weiter zu lesen.

…wird aber haargenau so gelehrt. Und so unsinnig, wie du tust, ist es auch nicht. Im Kern ist das Konzept der Stetigkeit mit IR verbunden. Es wird halt etwas lax definiert, weil das keine Stochastikvorlesung f. Mathematiker ist.

12.05.2023, 22:29

Pippen

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Hier mal die Folien als pdf, damit ihr mehr von dem Kontext des Kurses seht:

[attach]57061[/attach]

13.05.2023, 06:10

HAL 9000

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Tja, dann ist iversity.org vielleicht geeignet Volkshochschulkurse zu Stochastik zu geben - universitären Ansprüchen scheint es nicht zu genügen, da sollte schon ein gewisse Strenge bei den Definitionen eingehalten werden. Schon eher verzeihlich ist, dass im weiteren Verlauf der Folien keine Unterscheidung zwischen stetigen und absolutstetigen Zufallsgrößen vorgenommen wird, d.h., die dort als "stetig" bezeichneten Zufallsgrößen sind immer absolutstetig. (Wahrscheinlich wird sowas, wie ich es oben mit der Cantorfunktion erwähnt habe, als "praktisch" irrelevant abgetan.)

Die Unzulänglichkeiten der Definition stetiger Zufallsgrößen hatte ich oben ja schon herausgehoben anhand einer konkreten Beispiels-Zufallsgröße. Mit deiner "erweiterten" Definition ist das nicht behoben worden, ist alles nur noch schlimmer geworden:

"wenn sie beliebig viele nicht-periodische Nachkommastellen haben kann"

Da rollen sich einem die Zehennägel hoch. geschockt

Zitat:

Original von Pippen
Ist es wirklich so, dass die Punktwahrscheinlichkeit einer stetigen ZV per Definition Null ist?

Wie oben schon erwähnt bezeichnet man eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ als stetig, wenn ihre Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ stetig ist. Nun sind Verteilungsfunktionen $\begin{eqnarray*} F_X(t) := P(X\leq t) \end{eqnarray*}$ per Definition stets rechtsstetig - wenn also Stetigkeit gefordert wird bedeutet das, dass die zusätzlich auch noch linksstetig sein müssen und damit $\begin{eqnarray*} F_X(t) = F_X(t-0) \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gefordert werden muss. Nun gilt für diesen linksseitigen Grenzwert $\begin{eqnarray*} F_X(t-0) = P(X<t) \end{eqnarray*}$ , damit ist die Forderung gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} 0 = F_X(t) - F_X(t-0) = P(X\leq t) - P(X<t) = P(X=t) \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ .

Kurzum: Es mag also vielleicht nicht per Definition so formuliert sein, aber es ist äquivalent zur Definition.

13.05.2023, 07:10

Elvis

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Der Kurs taugt nichts, weil nichts definiert, nichts erklärt und nichts bewiesen wird. Es werden nur ein paar Behauptungen aufgestellt und Beispiele gezeigt, die irgendwo in Schulbüchern oder im Internet geklaut wurden.
Ganz schlimm ist Pippens Begriff der Stetigkeit, weil es nicht möglich ist, dass eine Zufallsvariable nur irrationale Werte annehmen soll. Die rationalen Zahlen sind dicht in den reellen Zahlen. Wie integriert man eine total unstetige "Dichtefunktion" von irrationalen in irrationale Zahlen? Das Riemann-Integral ist da jedenfalls nicht anwendbar, aber das würde ja auch nur stören, weil es zu formal ist. Viel bequemer ist es wohl, den Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung (Schulstoff am Gymnasium) ohne Verstand und ohne Verständnis als $\begin{eqnarray*} p(X\in(a, b)) =F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$ zu benutzen. Ganz egal, was eine Zufallsvariable, eine Dichtefunktion oder eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist und wie das alles zusammen hängt, es genügt, so zu tun als ob man etwas weiß und wenn die Schüler das nachplappern und dafür bezahlen.

13.05.2023, 10:06

Elvis

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Ich zitiere von der ersten Folie. "Stetige Zufallsvariablen sind zwar Realität, ihre Messung ist wegen der begrenzten Genauigkeit jedes Messgerätes aber immer diskret."
Woher kennt der Autor die "Realität" und die "Genauigkeit" aller "Messgeräte". Das ist einfach nur peinlich, man sollte auch Psychologen oder andere Menschen, die denken mögen, nicht derart misshandeln.
Zufallsvariable ist ein Begriff der Wahrscheinlichkeitstheorie, nicht der Wahrscheinlichkeitsrealitaet, das sollte man unbedingt auseinander halten.

13.05.2023, 16:16

Pippen

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Das ist ein universitärer Kurs für Psychologen. Soviel Anspruch habe ich schon. Augenzwinkern

Der Autor ist mittlerweile PD oder Prof und verweist auf diesen Kurs als Vorlesungsersatz. Mir gefällt der Kurs, weil er leicht verdaulich ist und mich nicht mit Formelkram erschlägt. Als Einführung finde ich es gelungen und später kann man dann einen Stochastikkurs für Mathematiker dazunehmen - was ich auch tun werde.

@Hal: Ja, das mit den Nachkommastellen werde ich entfernen. Denn wenn stetige ZV - mal angenommen - bedeute, dass die ZV in einem Intervall jeden beliebigen Wert annehmen kann, dann hieße das ja zB: 2, Pi, 2.3 usw. Und die Zahl 2 als reelle Zahl bzw. als Dedekind-Schnitt wird definitiv irgendwie Zahlen mit perdiodischen Dezimalstellen beinhalten, oder?

13.05.2023, 16:25

Elvis

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$\begin{eqnarray*} 2 =2,\overline 0 \end{eqnarray*}$ ist periodisch mit Periode 0. Jede rationale Zahl ist schließlich periodisch. Und davon gibt es in jedem reellen Intervall abzählbar unendlich viele.

13.05.2023, 17:12

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} 2 =2,\overline 0 \end{eqnarray*}$ ist periodisch mit Periode 0. Jede rationale Zahl ist schließlich periodisch. Und davon gibt es in jedem reellen Intervall abzählbar unendlich viele.

Und wie sähe 2 als reelle Zahl aus? 1,999… (aber das wäre auch periodisch) oder als Schnitt zwischen zwei Intervallen?

13.05.2023, 18:55

Elvis

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$\begin{eqnarray*} 2=1,\overline 9=2,000=2,\overline 0 \end{eqnarray*}$ z.B. als Dezimalzahl.
$\begin{eqnarray*} 2=lim_{n\to \infty} (2-\frac 1 n) \end{eqnarray*}$ z.B. als Grenzwert einer rationalen Folge.
$\begin{eqnarray*} 2=lim_{n\to \infty} (2+e^{-n}) \end{eqnarray*}$ z.B. als Grenzwert einer reellen Folge.
$\begin{eqnarray*} 2=lim_{n\to \infty} [2-\frac 1 n,2+\frac 1 n] \end{eqnarray*}$ z.B. als Intervallschachtelung.
$\begin{eqnarray*} 2=(\{\alpha\in \mathbb Q:\alpha<2\},\{\beta\in \mathbb Q:\beta\ge 2\}) \end{eqnarray*}$ z.B. als Dedekindscher Schnitt.
$\begin{eqnarray*} 2 =(2, 0)=(2,0)\begin {pmatrix} 1\\i\end {pmatrix} =2\cdot 1+0\cdot i\in\mathbb R ^2 \cong \mathbb C \end{eqnarray*}$ als komplexe Zahl.
$\begin{eqnarray*} 2 =2\cdot p^0+\sum_{n=1}^{\infty} 0\cdot p^n\in \mathbb Z_p\subset \mathbb Q_p\subset \mathbb C_p\subset \mathbb \Omega_p \end{eqnarray*}$ als p-adische Zahl.

Darüber hinaus sind die rationalen Zahlen in jedem Körper K der Charakteristik 0 eingebettet, also in jedem Körper, der nicht genau einen der endlichen Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p \end{eqnarray*}$ von Primzahlordnung enthält, d.h. es gibt stets mindestens einen injektiven Körperhomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi:\mathbb Q\to K,r\mapsto \varphi(r) \end{eqnarray*}$ , so dass insbesondere die ganzrationale Zahl 2 mindestens eine zu dem Körper K passende Darstellung hat.

14.05.2023, 18:49

Pippen

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So, jetzt sollte das gut passen oder findet jmd. noch ein Haar in der Suppe?

Zur stetigen Zufallsvariable habe ich zum Glück im englischsprachigen Wikipedia folgendes gefunden, was genau die Definition meines Kurses stützt:

When the image (or range) of X is countable, the random variable is called a discrete random variable and its distribution is a discrete probability distribution, i.e. can be described by a probability mass function that assigns a probability to each value in the image of X. If the image is uncountably infinite (usually an interval) then X is called a continuous random variable.

[attach]57071[/attach]
[attach]57072[/attach]

14.05.2023, 21:55

Elvis

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Abgesehen von ein paar Details gibt es da nicht mehr viel auszusetzen, aber ich verstehe nicht, warum du zu deiner Verteidigung eine Definition herangezogen hast, die gar nicht zu deiner Definition passen will. Du sagst, der Wertebereich von X sei ein Intervall. Wiki sagt, der Wertebereich von X sei überabzaehlbar unendlich. Was denn nun?
Nachtrag. Habe erst jetzt die zweite Seite gesehen, auch da ist nicht alles korrekt, dauert mir aber zu lange, bis wir uns geeinigt haben.

14.05.2023, 22:02

HAL 9000

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Da mein obiges Gegenbeispiel nach wie vor ignoriert wird, bin ich endgültig raus. Viel Spaß noch ihr zwei. Wink

P.S.: Zum Abschied noch ein Hinweis: Die Quantile $\begin{eqnarray*} x_p \end{eqnarray*}$ sind keine Zufallsgrößen, sondern (als Charakteristiken der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ) schlicht und einfach reelle Zahlen.

15.05.2023, 01:24

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Abgesehen von ein paar Details gibt es da nicht mehr viel auszusetzen, aber ich verstehe nicht, warum du zu deiner Verteidigung eine Definition herangezogen hast, die gar nicht zu deiner Definition passen will. Du sagst, der Wertebereich von X sei ein Intervall. Wiki sagt, der Wertebereich von X sei überabzaehlbar unendlich. Was denn nun?

Ist das nicht das Gleiche? Jedes Intervall in IR ist überabzählbar. Oder was meinst du?

Zitat:

Nachtrag. Habe erst jetzt die zweite Seite gesehen, auch da ist nicht alles korrekt, dauert mir aber zu lange, bis wir uns geeinigt haben.

Kannst du wenigstens die falsch erscheinenden Punkte mit einem Stichwort auflisten, damit ich mich näher damit befassen kann?

@hal: Könnte es nicht verschiedene Definitionen von stetigen Zufallsvariablen geben? Das wäre meine erste Idee. Wie gesagt, englischsprachige Wiki-Artikel zu Zufallsvariablen scheint stetige ZV so zu definieren wie mein Kurs.

Der andere Punkt ist folgender: Ich definiere zunächst eine stetige ZV als eine beliebige Zahl eines IR-Intervalles. Dann schreibe ich weiter unten, dass jede stetige Zufallsvariable X per Def. die Wahrscheinlichkeit Null hat und nur via Intervallen W. zugeordnet werden können. Wenn du das zusammennimmst, dann klappt dein Gegenbsp. nicht mehr und die Definition wäre sogar nach deiner Lesart korrekt, nicht? In meinem Kurs wurde halt auseinandergezogen, was der staubtrockende Mathematiker auf einmal und auf den Punkt definiert, wahrscheinlich aus didaktischen Gründen. Was meinst du?

15.05.2023, 08:49

Elvis

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Es ist unmöglich, Mathematik ohne Grundkenntnisse der Mathematik zu verstehen. Dir fehlen leider viele notwendige Kenntnisse über Mengen, Zahlen, Funktionen, Analysis, Maß - und Integrationstheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie. Da kann man nichts machen. Wenn du dann auch noch auf einen schlechten Kurs triffst, kannst du den weder kritisch lesen noch etwas sinnvolles daraus lernen. Dein Zugang zur Mathematik ist untauglich, und er wird nicht dadurch besser, dass du dir anmaßt, die Mathematik und MathematikerInnen zu bekritteln. Wenn du wirklich etwas lernen willst, brauchst du ein gutes Lehrbuch, einen guten Lehrer und viel Geduld.

Warum integrierst du die Dichtefunktion von minus bis plus unendlich? Wie integrierst du über ein Intervall? Wie integrierst du über eine überabzaehlbare Menge, die kein Intervall ist? Was hat das alles mit Wahrscheinlichkeitstheorie, Stochastik und Statistik zu tun? (Ein Integral ist so etwas ähnliches wie eine Summe, und eine Katze ist so etwas ähnliches wie eine Kuh, und wenn meine Katze eine Kuh wäre, müsste ich zum melken aufs Dach.)

Selbstverständlich kann ein p-Quantil ein Element aus dem Wertebereich einer stetigen Zufallsvariablen sein. Aber wenn man nicht weiß, was eine stetige Zufallsvariable ist, kann man auch nicht wissen, wie die Begriffe zusammenhaengen und was man damit machen kann.

15.05.2023, 09:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pippen
Dann schreibe ich weiter unten, dass jede stetige Zufallsvariable X per Def. die Wahrscheinlichkeit Null hat

Definitionen, wo man lange nach deren vermeintlichen Abschluss im Text noch erzählt "ach ja übrigens fordere ich auch noch [...]" sind Bullshit allererster Güte: Entweder bündelst du alles, was zu der Definition dazugehört, in diese Definition, oder lässt den ganzen Quatsch sein: Du kannst doch nicht episch, durch Absätze und Skizzen getrennt meinen, die Definition stückchensweise über den ganzen Text verteilen zu können. Die Definition hat kurz und knackig zu sein - wenn es dir danach beliebt, die noch seitenweise zu erläutern und grafisch zu veranschaulichen, dann kannst du das gern tun. Aber dieser Mischmasch oben ist stilistisch zum Kotzen

15.05.2023, 16:08

Elvis

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Ich schätze, dass weniger als 1% aller MathematikerInnen und nicht mehr als 0,0% aller NichmathematikerInnen das Paradebeispiel einer Wahrscheinlichkeitsdichte, nämlich die Gaußsche Glockenkurve, integrieren können. Was haben dann z. B. Psychologen und andere ehrenwerte Menschen davon, wenn man ihnen hübsche Bildchen zeigt und dazu im wesentlichen Unsinn erzählt, den sie weder verstehen noch anwenden können? Meiner Meinung nach gar nichts. Mathematisch naturwissenschaftliche sowohl als auch logische und politische Grundlagen-Bildung hätte mehr Sinn und Nutzen.

15.05.2023, 16:45

Finn_

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Im englischsprachigen Wikipedia-Artikel Random variable steht geschrieben

»If the image is uncountably infinite (usually an interval) then $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ is called a continuous random variable.«

Später im selben Artikel heißt es dann

»Formally, a continuous random variable is a random variable whose cumulative distribution function is continuous everywhere.«

Es wäre festzustellen, dass sich der Artikel darin selbst widerspricht. Man weiß hierzu ein elementares Beispiel:

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega := [0,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(A) := \tfrac{1}{2}1_A(0) + \tfrac{1}{2}1_A(1) \end{eqnarray*}$ für Borel-messbares $\begin{eqnarray*} A\subseteq\Omega. \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} X\colon\Omega\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X(\omega):=\omega. \end{eqnarray*}$

Das Bild von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \Omega, \end{eqnarray*}$ also überabzählbar. Die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} F(x) = P(X\le x) = \tfrac{1}{2}[0\in\{X\le x\}] + \tfrac{1}{2}[1\in\{X\le x\}] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \tfrac{1}{2}[X(0)\le x] + \tfrac{1}{2}[X(1)\le x] = \tfrac{1}{2}[0\le x] + \tfrac{1}{2}[1\le x], \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} F\colon\mathbb R\to [0,1],\quad F(x) = \begin{cases}0, & \text{wenn}\; x < 0,\\ \tfrac{1}{2}, &\text{wenn}\; 0\le x<1,\\ 1, &\text{wenn}\; 1\le x.\end{cases} \end{eqnarray*}$

Mit ihren zwei Sprungstellen ist sie unstetig. Ergo kann irgendetwas nicht stimmen, richtig?

15.05.2023, 17:48

HAL 9000

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Ja, das ist ein weiteres Beispiel, warum die Definition der Stetigkeit einer Zufallsgröße allein basierend auf ihrer Wertemenge Unsinn ist.

P.S.: Übrigens gibt es auf einem diskreten W-Raum "im weiteren Sinne", wie ihn Finn da angegeben hat, überhaupt keine stetigen Zufallsgrößen. Mit "im weiteren Sinne" meine ich, dass nicht " $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ abzählbar" gefordert wird, sondern nur die Existenz eines abzählbaren Trägers $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , d.h. mit $\begin{eqnarray*} P(T)=1 \end{eqnarray*}$ , im vorliegenden Fall ist das $\begin{eqnarray*} T=\{0,1\} \end{eqnarray*}$ .

15.05.2023, 18:31

Elvis

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Abgesehen von Lehrbüchern zur Wahrscheinlichkeitstheorie hat mir im Grundstudium ein Taschenbuch von Herbert Basler "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und statistischen Methodenlehre" einen guten Einstieg parallel zu einer Vorlesung geboten. Das Buch gibt's gebraucht für 4,44 €, das ist bestimmt preiswerter als jeder zweifelhafte Kurs. (https://www.amazon.de/Grundbegriffe-Wahr...aps%2C87&sr=8-2) Und es hat den Vorteil, dass da kein Müll drinsteht sondern brauchbare Grundlagen für Anfänger. "Das Konzept des Buches war und ist, für Nicht-Mathematiker eine mathematisch saubere, aber soweit wie möglich von mathematischer Technik entlastete Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und angewandte Mathematische Statistik zu bieten." Habe vor dieser Empfehlung nochmal kurz durchgeblättert, halte es immer noch für gut, und auf weniger als 80 Seiten hat man schon "1. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff" und "2. Zufällige Variable" richtig verstanden. (Hat mir jedenfalls vor 50 Jahren für eine Klausur mit "gut" geholfen. Wer eine "sehr gut" braucht, muss mehr tun.)

16.05.2023, 04:02

Pippen

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Warum soll man nicht stetige ZV und stetige Verteilungsfunktion dieser ZV als zwei paar Schuhe ansehen können? Alles was euer Bsp. zeigt ist, dass nicht alle stetigen ZV eine stetige Verteilungsfunktion haben müssen. ME ist es viel natürlicher eine stetige ZV als reelle Zahl zu definieren, eine diskrete ZV als rationale. Ob stetige ZV dann auch eine stetige W-Verteilung habe, ist eine neue Frage. Oder führt so eine Sichtweise in irgendeine Obskurität?

16.05.2023, 07:06

HAL 9000

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Du willst den Begriff "stetige Zufallsgröße" anders verstehen als die gesamte Fachwelt? Na von mir aus, dann mach das doch, und führe zu dem Thema anschließend ausschließlich Selbstgespräche.

P.S.: In 7 Jahren nichts dazugelernt ... So einen beharrlichen und gleichzeitig langjährig lernresistenten Kandidaten wie dich habe ich noch nie kennengelernt. Finger1

16.05.2023, 07:24

Elvis

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Zufallsvariablen sind keine Zahlen sondern Funktionen mit Definitionsbereich, Wertebereich und Graph.
Zahlen haben keinen Wertebereich, aber stetige Zufallsvariablen sollen als Wertebereich reelle Intervalle haben, sagt Pippen. Genau das ist das Problem bei diesem Kurs, dass nirgends gesagt wird, wovon man spricht.
Deutlich zu sagen, worüber man spricht, nennt der kleinliche Mathematiker Definition. Mathematik ist ohne Mathematik nicht möglich.
Bei einer Funktion, die Zufallsvariable genannt wird, wäre zunächst zu klären, wie Definitionsbereich, Wertebereich und Graph aussehen. Dann ist noch die Frage offen, wieso zu einer stetigen Zufallsvariablen zwei reelle Funktionen gehören, die Wahrscheinlichkeitsdichte und Wahrscheinlichkeitsfunktion heißen und wie das alles zusammen arbeitet.
H.Basler macht das auf 80 Seiten, niemand kann das auf 10 Folien oder gar auf einem Fresszettel machen.

16.05.2023, 11:32

HAL 9000

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Ich wundere mich, warum Pippen, der sonst doch einen Narren an Logik u.ä. gefressen zu haben scheint, hier bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung jede logische Strenge vermissen lässt. Meine Empfehlung schon vor 7 Jahren, mal einen Kurs Maßtheorie zu besuchen, wurde leider nicht befolgt - dabei wäre das genau das feste Fundament, auf dem man die Wahrscheinlichkeitstheorie sauber aufbauen kann.

16.05.2023, 12:52

Elvis

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Zwischen Schein und Wirklichkeit klafft eine kleine Lücke. Pippen sucht verzweifelt nach Fehlern in logischen Systemen und in der Mathematik überhaupt, kann aber keine finden. Er versucht, Mathematikern nachzuweisen, dass sie nicht wissen, was sie tun. Tatsächlich ist er einer der vielen Nichtmathematiker, die nichts verstehen, aber nicht jeder ist dumm genug, das nicht zu erkennen.

16.05.2023, 22:43

Pippen

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Noch eine Frage: ich habe in meinen Notizen stehen, dass bei stetigen/überabzählbaren Zufallsvariablen/Ereignissen Kolmogorov‘s 3. Axiom nicht gilt. Das kann man so sagen, richtig?

17.05.2023, 06:38

HAL 9000

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Ich kenne keine spezifische Zählung der Axiome, daher weiß ich nicht, was du mit dem 3.Axiom meinst - aber ist auch egal:

Es gibt da keine Ausnahmeregelungen.

17.05.2023, 06:57

Pippen

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Aha, da habe ich wohl eine kritischen Fehler gemacht. Das dritte Axiom ist die Additivität disjunkter abzählbarer Ereignisse und ich dachte so: bei stetigen W-Verteilungen gibt es ja immer überabzählbar viele Ereignisse, also gilt es dort nicht.

Du und Chatgpt widersprechen aber, ich zitiere den Bot:

Sie haben recht, das dritte Axiom von Kolmogorov behandelt die additivität von Ereignissen. Es besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens der Vereinigung zweier disjunkter Ereignisse die Summe ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Dieses Axiom gilt sowohl für diskrete als auch für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen wird die additivität durch die Integration der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion (PDF) über das entsprechende Ereignis oder Intervall erreicht. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als Flächeninhalt unter der Kurve der PDF berechnet wird. Die additivität bleibt erhalten, solange die Ereignisse disjunkt sind. Das dritte Axiom der additiven Wahrscheinlichkeit ist ein grundlegendes Konzept der Wahrscheinlichkeitstheorie und ermöglicht die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für komplexe Ereignisse durch die Addition von Wahrscheinlichkeiten für einfachere Ereignisse.

Wieso wird dann aber das 3. Axiom immer!!! für abzählbar viele Ereignisse formuliert? Das führt doch in die Irre. Es muss also noch eine Version des 3. Axioms für überabzählbare Ereignisse geben, richtig?

Chatgpt sagt dazu:

Kann man sagen: das dritte axiom kolmogorov‘s gilt nicht bei stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, weil dort überabzählbar viele Ereignisse vorliegen, aber es wird ersetzt durch ein anderes axiom, was die additivität disjunkter ereignisse für überabzählbar viele ereignisse sicherstellt. [meine frage]

Ja, das ist eine korrekte Aussage. In stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen kann das dritte Axiom von Kolmogorov, das die Additivität von abzählbaren Ereignissen betrifft, nicht direkt angewendet werden, da stetige Verteilungen überabzählbar viele mögliche Ereignisse haben. Stattdessen wird in der stetigen Wahrscheinlichkeitstheorie ein ähnliches Konzept eingeführt, das sicherstellt, dass die Wahrscheinlichkeiten disjunkter Ereignisse für überabzählbar viele Ereignisse additiv sind. Dieses Konzept wird oft als "Maßadditivität" bezeichnet.

Das bedeutet, dass das dritte Axiom von Kolmogorov in der stetigen Wahrscheinlichkeitstheorie durch ein angepasstes Konzept ersetzt wird, das die additiven Eigenschaften von überabzählbaren Ereignissen berücksichtigt. [bot-antwort]

17.05.2023, 07:31

HAL 9000

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Da führt nichts in die Irre: Es wird eben bewusst nur für abzählbare Vereinigungen formuliert!!!

Nur weil es überabzählbar viele disjunkte Ereignisse im W-Raum gibt, ist das ja noch kein Verpflichtung, die Additivitiät der Wahrscheinlichkeit auch dafür zu fordern. unglücklich

Und: Was ist das überhaupt, eine überabzählbare Summe? Genau genommen gibt es Summen nur für endlich viele Summanden - die abzählbaren Summen werden schon als Erweiterung über Reihenkonvergenz erklärt.

Zum x-ten Mal: Beschäftige dich mit Maßtheorie, da kommt insbesondere bei der Konstruktion des Lebesgue-Maßes (d.h. im eindimensionalen das Längenmaß) klar heraus, warum es gerade bei diesem Axiom (was es dort in ähnlicher Weise für Maße gibt) so sinnvoll ist, "nur" abzählbare Vereinigungen zu betrachten - ein Längenmaß mit Erfüllung eines "Überabzählbar-Vereinigungs-Axioms" kann es nämlich schlicht gar nicht geben. Das wäre aber blöd, oder? Augenzwinkern

Zitat:

Original von Pippen
Das bedeutet, dass das dritte Axiom von Kolmogorov in der stetigen Wahrscheinlichkeitstheorie durch ein angepasstes Konzept ersetzt wird, das die additiven Eigenschaften von überabzählbaren Ereignissen berücksichtigt. [bot-antwort]

Unfug: Da wird nichts ersetzt. Es darf eben nur für abzählbar viele Ereignisse angewandt werden, was letztlich auch reicht für die Berechnung aller Wahrscheinlichkeiten in diesem W-Raum.

P.S.: Man muss nicht alles glauben, was das ChatGPT so vor sich hin quakt. Da werden schließlich auch Informationen von der Qualität deiner Kursfolien mit reingemixt, außerdem ist es auch gar nicht der Anspruch von ChatGPT, mathematisch logisch vorzugehen:

Das ist ein Textanalyseprogramm, was dann forsch das angelesene inhaltlich kreuz und quer kombiniert - die Logik bleibt da öfters auf der Strecke.

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Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

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