Kreuzprodukt-Gleichung auflösen

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12.05.2023, 17:35

Dfch

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Kreuzprodukt-Gleichung auflösen

Meine Frage:
Wie kann man
a x X = b nach X auflösen? a,b,x sind Vektoren
Danke im Voraus

Meine Ideen:

12.05.2023, 18:31

mYthos

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Die Gleichung ist, so wie sie da steht, nicht eindeutig lösbar.
Offensichtlich fehlt eine zusätzliche Angabe, z.B. dass $\begin{eqnarray*} \vec x \cdot \vec a = s \end{eqnarray*}$ ein Skalar (s) ist.

In diesem Fall "kreuz-multipliziere" (!) die gegebene Gleichung

$\begin{eqnarray*} \vec a \times \vec x = \vec b \text { von links mit } \vec a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1) \ \vec a \times (\vec a \times \vec x) = \vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2) \ \vec x \cdot \vec a = s \end{eqnarray*}$

Wenn die erste Gleichung mittels der Graßmann-Identität* umgefort ist, kann das System dann aufgelöst werden.

mY+
__________________________

Sh. Wikipedia:

(*)Graßmann-Identität
Für das wiederholte Kreuzprodukt von drei Vektoren (auch doppeltes Vektorprodukt genannt gilt die Graßmann-Identität (auch Graßmannscher Entwicklungssatz, nach Hermann Graßmann). Diese lautet:

$\begin{eqnarray*} \vec a \times (\vec b \times \vec c) = (\vec a \cdot \vec c) \cdot \vec b - (\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec a \times (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec a \cdot \vec c) - \vec c \cdot(\vec a \cdot \vec b) \end{eqnarray*}$

Nach dieser Darstellung wird die Formel auch BAC-CAB-Formel genannt.

13.05.2023, 05:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
Offensichtlich fehlt eine zusätzliche Angabe, z.B. dass $\begin{eqnarray*} \vec x \cdot \vec a = s \end{eqnarray*}$ ein Skalar (s) ist.

Etwas missverständlich formuliert, denn $\begin{eqnarray*} \vec x \cdot \vec a \end{eqnarray*}$ ist natürlich immer ein Skalar. Augenzwinkern

Gemeint ist es natürlich in dem Sinne, dass man für jeden vorgegebenen Skalar (d.h. reelle Zahl) $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ genau eine Lösung $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ der Gleichung $\begin{eqnarray*} \vec a \times \vec x = \vec b \end{eqnarray*}$ angeben kann, die zusätzlich $\begin{eqnarray*} \vec x \cdot \vec a = s \end{eqnarray*}$ erfüllt.

13.05.2023, 13:16

Leopold

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Für die Lösbarkeit der Gleichung wird man noch mehr Geometrie investieren müssen. Ist in

$\begin{align*} \text{(*)} \ \ \vec{a} \times \vec{x} = \vec{b} \end{align*}$

der Vektor $\begin{align*} \vec{a} \end{align*}$ der Nullvektor, so sind alle Vektoren $\begin{align*} \vec{x} \end{align*}$ Lösungen, wenn auch $\begin{align*} \vec{b} \end{align*}$ der Nullvektor ist, und die Gleichung unlösbar, wenn $\begin{align*} \vec{b} \end{align*}$ nicht der Nullvektor ist. Ist $\begin{align*} \vec{b} \end{align*}$ der Nullvektor, $\begin{align*} \vec{a} \end{align*}$ jedoch nicht, so sind alle skalaren Vielfachen von $\begin{align*} \vec{a} \end{align*}$ Lösungen.

Wir dürfen daher von jetzt ab voraussetzen, daß $\begin{align*} \vec{a} \end{align*}$ und $\begin{align*} \vec{b} \end{align*}$ nicht der Nullvektor sind. Die Gleichung $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ enthält, daß $\begin{align*} \vec{a} \end{align*}$ und $\begin{align*} \vec{b} \end{align*}$ orthogonal sind, ihr Skalarprodukt $\begin{align*} \vec{a} \vec{b} \end{align*}$ daher verschwindet. Im andern Fall wäre die Gleichung unlösbar. Stellen wir uns alle Vektoren als Ortsvektoren vor und identifizieren wir sie mit Punkten des Koordinatensystems. Als Punkt liegt $\begin{align*} \vec{x} \end{align*}$ also in der Ursprungsebene, die zu $\begin{align*} \vec{b} \end{align*}$ orthogonal ist. In dieser Ebene liegen auch die linear unabhängigen $\begin{align*} \vec{a} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \vec{a} \times \vec{b} \end{align*}$ . Daher existieren Skalare $\begin{align*} \sigma, \tau \end{align*}$ mit

$\begin{align*} \vec{x} = \sigma \, \vec{a} + \tau \, \vec{a} \times \vec{b} \end{align*}$

Das setzen wir in $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ ein:

$\begin{align*} \vec{a} \times \left( \sigma \, \vec{a} + \tau \, \vec{a} \times \vec{b} \right) = \vec{b} \end{align*}$

$\begin{align*} \sigma \, \vec{a} \times \vec{a} + \tau \, \vec{a} \times \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) = \vec{b} \end{align*}$

Der erste Summand ist Null, der zweite wird mit der Graßmann-Identität umgeformt:

$\begin{align*} \tau \left( \left( \vec{a} \vec{b} \right) \vec{a} - \vec{a}^2 \vec{b} \right) = \vec{b} \end{align*}$

Wegen der Orthogonalität von $\begin{align*} \vec{a} \end{align*}$ und $\begin{align*} \vec{b} \end{align*}$ verschwindet der Minuend in der Klammer, so daß man $\begin{align*} \tau \end{align*}$ berechnen kann:

$\begin{align*} \tau = - \frac{1}{\vec{a}^2} \end{align*}$

Die Probe zeigt, daß mit einem beliebigen Skalar $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ alle Vektoren

$\begin{align*} \vec{x} = \sigma \, \vec{a} - \frac{1}{\vec{a}^2} \, \vec{a} \times \vec{b} \end{align*}$

die Gleichung lösen. Es sei noch einmal betont, daß $\begin{align*} \vec{a} \end{align*}$ und $\begin{align*} \vec{b} \end{align*}$ als orthogonal vorauszusetzen sind.

13.05.2023, 13:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Es sei noch einmal betont, daß $\begin{align*} \vec{a} \end{align*}$ und $\begin{align*} \vec{b} \end{align*}$ als orthogonal vorauszusetzen sind.

Das ist natürlich richtig, mYthos sowie auch ich hätten die Voraussetzungen erwähnen müssen:

$\begin{eqnarray*} \vec a\perp \vec b \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \vec{a}\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Fall $\begin{eqnarray*} \vec{a}=0 \end{eqnarray*}$ ist ohnehin trivial: Da gibt es keine Lösung im Fall $\begin{eqnarray*} \vec{b}\neq 0 \end{eqnarray*}$ , während für $\begin{eqnarray*} \vec{b}=0 \end{eqnarray*}$ natürlich alle $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ Lösungen sind.

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