Riemann-Integrierbarkeit

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kornelthefirst Auf diesen Beitrag antworten »
Riemann-Integrierbarkeit
Meine Frage:
Moin,

Ich habe eine Aufgabe, wo ich die Riemann-integrierbarkeit von verschiedene Funktionen bestimmen soll.
Eine davon ist die

Meine Ideen:
Mir ist klar, dass cos(x)selbst von stetigkeit her integrierbar ist, und eine Funktion mit endlich viele Abweichungen davon auch integrierbar sind. Diese Funktion hat aber unendlich viele isolierte Punkte, die von cos(x) Abweichen.
Ich denke so ist sie nicht mehr integrierbar, aber habe keine Beweis dafür.
Es wäre sehr nett von euch mir eine Idee zu geben, wie ich es Beweisen kann.
Danke smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-Integrierbarkeit
Eine nachvollziehbare Idee, allerdings gibt es eine stärkere Aussage, dass auch abzählbare Unstetigkeitsstellen noch immer Riemann-Integrierbar sind.

In dem konkreten Fall kannst du wie folgt argumentieren: Für jedes besitzt auf nur endlich viele Unstetigkeitsstellen und ist integrierbar. Es reicht also zu zeigen, dass auf integrierbar ist, für irgendein .

Da trivial durch und auf dem Intervall beschränkt ist, ist der Flächeninhalt beschränkt durch und . Grob: Damit sind Untersumme und Obersumme "beliebig" nahe zusammen und damit Riemann-Integrierbar.

Insb. beim letzten Schritt muss man sorgfältig argumentieren, aber das ist die Idee.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Eine nachvollziehbare Idee, allerdings gibt es eine stärkere Aussage, dass auch abzählbare Unstetigkeitsstellen noch immer Riemann-Integrierbar

... sein können, wenn gewisse Zusatzbedingungen erfüllt sind:

a) Die zugehörigen Funktionswerte beschränkt sind

UND

b) diese Ausnahmestellen nur endlich viele Häufungspunkte haben.


Beide Bedingungen sind hier in der Tat erfüllt: Beschränktheit betragsmäßig durch 1, und nur ein Häufungspunkt, nämlich x=0.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

a) Habe ich nicht erwähnt, da man bei Riemann-Integrierbarkeit immer beschränkte Funktionen auf kompakten Intervallen betrachtet. Erst bei uneigentlicher Riemann-Integrierbarkeit wird das aufgeweicht.

b) Wiki sagt nur, dass die Menge der Unstetigkeitsstelle eine Lebesgue-Nullmenge sein müssen. Und das wäre bei abzählbar vielen Stellen der Fall. Was überseh ich hier? verwirrt

Edit: Thomae's Funktion hat ja auch alle rationalen Stellen in [0,1] Unstetigkeiten. Und die sind dicht, d.h. überabzählbare viele Häufungspunkte und die Funktion ist dennoch Riemann-Integrierbar.
kornelthefirst Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, mit dieser Trick verstehe ich auch, das es integrierbar ist smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich hatte ungenau gelesen: Ich hatte unwillkürlich angenommen, du sprichst von abzählbar vielen Ausnahmestellen. Das ist natürlich was anderes:

Wenn man die Funktion von oben nimmt, aber Fallbedingung "" durch " rational" ersetzt, dann sind das zwar nur abzählbar viele Ausnahmestellen, aber insgesamt dann doch überabzählbar viele Unstetigkeitsstellen. Augenzwinkern
 
 
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