Divergenz Teilfolgen

13.05.2023, 10:17

xx33xx44

Divergenz Teilfolgen

Meine Frage:
Aufgabe: Sei (an)n?N eine Folge in IR?0, die keine bestimmt divergente Teilfolge besitzt.

Meine Ideen:
Problem/Ansatz: Bedeutet das, dass die Folge keine Teilfolge besitzt, die gegen unendlich divergiert. Folge: Sie besitzt einen Grenzwert, gegen den sie konvergiert und ist somit beschränkt, da jede konvergente Folge konvergiert (Satz aus Vorlesung)?

13.05.2023, 10:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von xx33xx44
Folge: Sie besitzt einen Grenzwert

Nein. Es bedeutet lediglich, dass die Folge beschränkt ist, denn unbeschränkte Folgen besitzen stets mindestens eine bestimmt divergente Teilfolge (gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ oder gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ).

Es bedeutet jedoch NICHT zwingend Konvergenz, das Trivialbeispiel $\begin{eqnarray*} a_n = 2+\left(-1\right)^n \end{eqnarray*}$ sollte das ausreichend klarmachen.

P.S.: Was ist IR?0 ? Soll das $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{>0} \end{eqnarray*}$ bedeuten? Ich bin mal (bis auf Widerruf) davon ausgegangen.

13.05.2023, 10:58

xx33xx44

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Okay, das mit dem Beispiel verstehe ich, aber wie kann man beweisen, dass sie beschränkt ist. Das heißt ja, es gibt ein K für das gilt alle a(n) gilt: |a(n)| <= K

13.05.2023, 11:32

HAL 9000

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Indirekter Beweis: Nimm an, dass die NICHT beschränkt ist. Dann gibt es für alle $\begin{eqnarray*} K>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \left|a_n\right|> K \end{eqnarray*}$ .

Nimm einfach $\begin{eqnarray*} n_1=1 \end{eqnarray*}$ , dann gibt es der fehlenden Beschränktheit wegen ein $\begin{eqnarray*} n_k>n_{k-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \left|a_{n_k}\right| \geq \left|a_{n_{k-1}}\right| + 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=2,3,\ldots \end{eqnarray*}$ .

Wir haben somit $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} \left|a_{n_k}\right| = \infty \end{eqnarray*}$ , sogar streng monoton. Nun gibt es darunter entweder unendlich viele $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{n_k}>0 \end{eqnarray*}$ oder aber unendlich viele $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{n_k}<0 \end{eqnarray*}$ . In ersteren Fall konvergiert diese Teilfolge der positivenTeilfolgenglieder gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , im zweiteren Fall die Teilfolge der negativenTeilfolgenglieder gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ - beides steht im Widerspruch zur Voraussetzung "es existiert keine bestimmt divergenten Teilfolge".

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