Richtungsvektor im Zylinder

13.05.2023, 15:34

unass

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Richtungsvektor im Zylinder

Meine Frage:
Gegeben ist ein Zylinder mit Radius r und Höhe h. Ein Lichtstrahl fällt von oben durch ein Loch im Deckel unter
dem Winkel Theta ein. Ich suche den Vektor (Richtungsvektor)
r der diesen Strahl beschreibt und den Schnittpunkt dieses Vektors mit der Zylindermantelfläche. Der Strahl liegt in einer Ebene parallel zur x-z Ebene.

Meine Ideen:
Mir ist klar, das dies mittels von Vektoren beschrieben werden kann. Drehe mich aber im Kreis.

Vielen Dank im voraus,

Uwe

13.05.2023, 16:15

Elvis

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Jede Ebene parallel zur x-z Ebene schneidet den senkrechten Kreis-Zylinder in einem Rechteck. Damit ist das Problem zwar zunächst noch von y abhängig, ist dann aber ein ebenes Problem.

13.05.2023, 16:18

klauss

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RE: Richtungsvektor im Zylinder
Ein paar Zusatzinformationen wären noch wünschenswert:
- Handelt es sich um einen Zylinder mit der z-Achse als Rotationsachse und Grundfläche in der x-y-Ebene?
- Wird der Winkel Theta gegen die x-y-Ebene gemessen oder gegen den Normalenvektor der Deckelfläche (= z-Achse)?

Der Richtungsvektor wird voraussichtlich von der Form
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos\varphi \\ 0 \\ -\sin\varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
sein, wobei $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ von der Frage zu Theta abhängt.
Um die Geradengleichung des Strahls komplett aufzustellen, bräuchten wir noch Informationen über die Koordinaten des Lochs und ob der Strahl in positiver oder negativer x-Richtung verläuft.

[attach]57065[/attach]

13.05.2023, 17:27

unass

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Der Strahl verläuft in negative x-Richtung. Bekannt sind die Einlass-Koordinaten x und y in Zylinderkoordinaten. Der
Winkel Theta (eigentlich eher -Theta verläuft von oben nach unten. Erschwerend (?) kommt hinzu, das der Strahl in
der Ebene parallel zu x-z Ebene liegt, d.h. y=const. ist. Die z-Achse ist die Mittelachse des Zylinders.

Was ich bräuchte ist eine Vektor Notation für diesen Srahl, also Vektor.r=Einlassort (Vektor-E)+t mal Richtungsvektor.
Das mit dem Schnittpunkt kommt dann als add on dazu. Wenn ich das habe, wie berechne ich dann den Reflektions-
vektor?

Danke

13.05.2023, 18:43

klauss

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Die Koordinaten des Lochs $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ sind wohl eher kartesisch. Da der Strahl durch $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ geht, kann man das Loch gleich als Aufpunkt der Geradengleichung nehmen.
Winkel von oben nach unten sagt mir so nichts. Ich meinte, ob Theta der im folgenden Bild markierte $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ zwischen Strahl und x-y-Ebene sein soll oder der Winkel $\begin{eqnarray*} 90°-\varphi \end{eqnarray*}$ zwischen Strahl und z-Achse. Ist jetzt aber egal.

[attach]57066[/attach]

Ich habe schon vorhin mal den Strahl in positive x-Richtung laufen lassen, wenn Du es umgekehrt haben willst, spielt es für das Prinzip keine Rolle. Dass der Strahl parallel zu x-z-Ebene verläuft, sehe ich als Vereinfachung.

Die Strahlgleichung ist bei meinem obigen Zylinder
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_{L} \\ y_{L} \\ h \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} \cos\varphi \\ 0 \\ -\sin\varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für den Durchstoßpunkt durch die Mantelfläche muß $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ so bestimmt werden, dass $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{r^{2}-y_{L}^{2} } \end{eqnarray*}$ (hier positive Lösung)

13.05.2023, 19:11

unass

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unass
Hallo,

besten Dank nochmals!!! Wie berechne ich dann sinniger Weise den reflektiertem Strahl an der Mantelfäche?
Muss ich dazu das Referenzsystem (globales Zylindersystem) in ein System drehen, so das der Normalen Vektor
auf der Manteloberfläche (wie bestimme ich den?) die z-Achse in diesem System ist? Das Ganze ist Teil eines Raytracing Programms. Bestimmt schon einmal gelöst, aber von mir nicht gefunden und in Gänze auch noch nicht verstanden.

Dank nochmals

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13.05.2023, 20:22

klauss

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RE: Richtungsvektor im Zylinder
Den Richtungsvektor des am Zylindermantel (innen) reflektierten Strahls zu berechnen, ist etwas aufwendiger. Beteiligt sind: Tangentialebene am Zylinder im Auftreffpunkt und Einfallsebene zwischen Strahl und Normalenvektor der Tangentialebene.
Die Ebenengleichungen sind relativ leicht, da der Normalenvektor der Tangentialebene in Reflexionsrichtung
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\sqrt{r^{2}-y_{L}^{2} } \\ -y_{L} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ist und dieser zugleich (zweiter) Richtungsvektor der Einfallsebene.
Dann sollte es wohl genügen, den Lochpunkt am Lot auf der Tangentialebene im Auftreffpunkt zu spiegeln. Diese Rechnung habe ich aus Zeitgründen noch nicht durchgeführt, aber ich werde mich noch damit beschäftigen.

Zwischenergebnis:

[attach]57067[/attach]

13.05.2023, 22:02

unass

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RE: Richtungsvektor im Zylinder
Hallo Klauss,

die Zeichnung beschreibt das Problem genau! Besten Dank für deine Bemühungen.Wenn ich den Reflektionsvektor
im globalen System habe, müßte eine Drehung des "globalen" Koordinatensystems in ein System mit dem normalen
Vektor als z-Achse schon fast die lösung sein, da man ja in diesem System die Rellektion gut beschreiben kann. Dann
das ganze zurückdrehen und den nächsten Schnittpunkt bestimmen. Was meinst du?

Danke,

Uwe

14.05.2023, 05:08

klauss

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RE: Richtungsvektor im Zylinder
Ich habe mich entschlossen, einen Weg mit mehreren Zwischenschritten zu benutzen, und habe nach langer Rechnung für den Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ des reflektierten Strahls folgende Komponenten ermittelt, in die man nur bekannte Größen einsetzen muß:

$\begin{eqnarray*} x_{\vec{v}}=\frac{\left(2y_{L}^{2}-r^{2}\right)\left(\sqrt{r^{2}-y_{L}^{2} }-x_{L} \right) }{r^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{\vec{v}}= \frac{2y_{L}\left(y_{L}^{2}+x_{L}\sqrt{r^{2}-y_{L}^{2} } -r^{2} \right) }{r^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{\vec{v}}= -\left(\sqrt{r^{2}-y_{L}^{2}} -x_{L} \right)\cdot \tan\varphi \end{eqnarray*}$

Dem Bild nach scheint das richtig zu sein.

[attach]57068[/attach]

14.05.2023, 11:39

unass

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Hallo Klauss,

dem Bild nach ist das richtig!!! Schön wäre noch, da du gerade in der Materie steckst, wenn du noch
die Zerlegung des reflektierten Vektors in eine Komponente parallel und eine senkrecht zum normalen
Vektor auf die Tangentenfläche angeben kannst. Wie lautet die Vektorgleichung des normalen Vektors?

Besten Dank noch einmal,

Uwe

14.05.2023, 13:08

klauss

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RE: Richtungsvektor im Zylinder
Das kann ich mir noch nicht ganz vorstellen, welche das sein sollen.
Die grüne Normalenrichtung zur Ebene habe ich oben schon mit

Zitat:

Normalenvektor der Tangentialebene in Reflexionsrichtung
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\sqrt{r^{2}-y_{L}^{2} } \\ -y_{L} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

angegeben.
Wenn man aber zu einer Richtung eine senkrechte sucht, ist die nicht eindeutig; es gibt unendlich viele.

Kannst Du in einem der Bilder selbst skizzieren, wie diese zerlegten Komponenten liegen sollen?

Hier noch eine Ansicht in Richtung des einfallenden Strahls (parallel zur x-z-Achse).

[attach]57069[/attach]

14.05.2023, 13:48

unass

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RE: Richtungsvektor im Zylinder
Jetzt wird's haarig.... Mit dem Einzeichnen hab ich's nicht so. Also noch einmal von vorn: Der Strahl fällt von oben
schräg nach unten und trifft die Zylinder Mantelfläche im Punkt P. Hier wird er gespiegelt und läuft im Inneren des
Zylinders weiter nach unten. Den ersten Schnittpunkt kann man mit deinen Angaben berechnen. Gesucht ist nun der Normalenvektor auf die Tangentenoberfläche Richtung Mittelachse (Spiegel Normale ) und die Zerlegung des
einfallenden und reflektierten Strahls parallel und senkrecht zu diesem Normalenvektor. Der senkrechte Vektor
sollte in der Tangentialebene liegen, also in einem "neuen" (lokalen) Koordinatensystem die x- oder y-Achse sein.
Ich glaube hier hilft das Kreuzprodukt aus Normalenvektor und einfallenden Strahlvektor.

Ich hoffe die Beschreibung ist vollständig.

Uwe

14.05.2023, 17:58

klauss

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RE: Richtungsvektor im Zylinder

Zitat:

Der Strahl fällt von oben schräg nach unten und trifft die Zylinder Mantelfläche im Punkt P. Hier wird er gespiegelt und läuft im Inneren des
Zylinders weiter nach unten. Den ersten Schnittpunkt kann man mit deinen Angaben berechnen.

Richtig, erledigt.

Zitat:

Gesucht ist nun der Normalenvektor auf die Tangentenoberfläche Richtung Mittelachse (Spiegel Normale )

Wenn Tangentenoberfläche dasselbe ist wie Tangentialebene, dann bin ich weiterhin der Meinung, dass ich den Normalenvektor (im Bild grün) bereits zweimal angegeben habe.

Zitat:

und die Zerlegung des einfallenden und reflektierten Strahls parallel und senkrecht zu diesem Normalenvektor.

Der grüne Nornalenvektor ist für beide - einfallenden und reflektierten Strahl - eine (zu sich selbst parallele) Zerlegungskomponente.

Zitat:

Der senkrechte Vektor sollte in der Tangentialebene liegen

Du meinst also wohl, dass die gesuchte Komponente senkrecht auf dem Normalenvektor und zugleich senkrecht auf einfallendem/reflektiertem Strahl sein soll. Dann kann man in der Tat das Kreuzprodukt anwenden.
Der gemeinsame Normalenvektor bezüglich des einfallenden Strahls lautet
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-y_{L}\cdot \sin\varphi \\ \sqrt{r^{2}-y_{L}^{2} }\cdot \sin\varphi \\ -y_{L} \cdot \cos\varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und ist hier aus 2 Perspektiven fett gelb eingezeichnet.

[attach]57070[/attach]

Die lästige Schreiberei fürs Kreuzprodukt bezüglich reflektiertem Strahl bleibt Dir als Übungsaufgabe überlassen.

14.05.2023, 18:26

unass

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Hallo Klauss,

ich glaube das war's! Werde mich nun an's Programmieren begeben.

Uwe

14.05.2023, 18:39

klauss

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RE: Richtungsvektor im Zylinder
Na dann viel Erfolg. Um die Belastbarkeit meiner Ergebnisse zu testen, wäre es nützlich, ein paar Spezialfälle berechnen zu lassen. Z. B. wenn das Einfallsloch im Mittelpunkt der Deckfläche liegt, wenn der Strahl auf den Randpunkt $\begin{eqnarray*} (0~|~r~|~h) \end{eqnarray*}$ fällt oder wenn der Strahl so steil einfällt, dass er Zylinderboden statt Mantelfläche trifft.

14.05.2023, 21:28

unass

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Hallo Klauss,

wollte gerade mit dem Programm anfangen..... und stolpere schon beim Richtungsvektor des
einfallenden Strahls. Muss da nicht in der z-Richtung mein Einfallswinkel Theta auftauchen (cos(Theta) oder so)?
Richtung y ist dies null, da ich ja in der yL=const. Richtung bleibe aber was ist mit x. Ist diese Richtung
x=sqrt(r**2-yL**)?

Sorry für die Nachfrage.

Uwe

15.05.2023, 08:49

klauss

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RE: Richtungsvektor im Zylinder
In meinem Beitrag vom 13.05.2023 18:43 habe ich ja die Gleichung für den einfallenden Strahl angegeben und dabei auch klargestellt, wo mein Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ liegt. Wenn Dein Theta ein anderer Winkel ist, kannst Du $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ durch Theta ausdrücken und die Gleichung weiterverwenden, aber leider weiß ich bisher nicht genau, wo Du eigentlich Theta angelegt hast.

P.S.
$\begin{eqnarray*} \sqrt{r^{2}-y_{L}^{2} } \end{eqnarray*}$ war die x-Koordinate des Auftreffpunkts auf die Mantelfläche. Du hast also insoweit nicht aufmerksam genug gelesen.

15.05.2023, 12:24

unass

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Hallo Klauss,

ich versuche es noch einmal: Der Winkel Theta oder auch phi ist der Winkel Deckelebene mit dem
einfallenden Strahl. Dein Xl und YL sind die Koordinaten des Lochs, der in der Deckeloberfläche ist.
Gesucht ist zuerst die paramatrisierte Vektordarstellung mit YL=const. die die gegenüberliegende
Zylinder Mantelfläche schneidet und dieser Scnnittpunkt.

Klarer? Versuchs nochmal für Begriffstutzige!

Uwe

15.05.2023, 12:52

klauss

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RE: Richtungsvektor im Zylinder

Zitat:

Der Winkel Theta oder auch phi ist der Winkel Deckelebene mit dem einfallenden Strahl.

Verstehe ich so, das Dein Theta und mein $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ identisch sind und somit meine Strahlgleichung unverändert benutzt werden kann.

Zitat:

Dein Xl und YL sind die Koordinaten des Lochs, der in der Deckeloberfläche ist.

Ja, wobei die z-Koordinate logischerweise $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Gesucht ist zuerst die paramatrisierte Vektordarstellung mit YL=const. die die gegenüberliegende Zylinder Mantelfläche schneidet und dieser Scnnittpunkt.

Die Einfallsstrahl-Gleichung steht in meinem Beitrag vom 13.05.2023 18:43, ebenso die x-Koordinate des Auftreffpunkts auf die Mantelfläche.
Wegen dieser Bedingung gilt:
$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{\sqrt{r^{2}-y_{L}^{2} }-x_{L} }{\cos\varphi} \end{eqnarray*}$
Die z-Koordinate des Auftreffpunkts ergibt sich durch Einsetzen von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ zu
$\begin{eqnarray*} h-\left(\sqrt{r^{2}-y_{L}^{2} }-x_{L} \right) \cdot \tan\varphi \end{eqnarray*}$
Die y-Koordinate des Auftreffpunkts bleibt natürlich $\begin{eqnarray*} y_{L} \end{eqnarray*}$ , unabhängig von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

15.05.2023, 13:14

unass

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Hallo Klauss,

danke noch einmal für die Erklärungen! Werde nun die Gleichungen aufschreiben und erst einmal
"zu Fuß" lösen. Hoffentlich kommen keine weiteren Fragen.

Uwe

15.05.2023, 13:31

klauss

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Zitat:

Hoffentlich kommen keine weiteren Fragen.

Stehe gern zur Verfügung und habe vorsorglich meine seitenlangen Aufzeichnungen zu Hause noch nicht geshreddert.

16.05.2023, 16:00

unass

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Hallo Klauss,

ich traue mich langsam nicht mehr zu fragen: Der einfallende Strahl berechnet sich aus Vektor zum Punkt P minus
Schnittpunkt und sollte somit folgende Koordinaten haben:

sx=sqrt(r**2-yL**2)
sy=yl
und sz=h-(sqrt(r**2-yl**2)-xL)*tan(phi)

Dies ist pure Geometrie und sogar mir noch verständlich smile

smile

Wenn ich nicht ganz falsch liege (tue ich wohl), dann ist der Vektor n zwischen Mittelachse und dem Schnittpunkt
(Normalenvektor auf die Mantelfläche) gegeben durch:

nx=sqrt(r**2-yL**2)
ny=yL
und nz=(sqrt(r**2-yl**2)-xL)*tan(phi)

Die Mittelachse definiere ich durch H=(0,0,h)

Wenn ich nun (s,n)/(|s| |n|) berechne sollte dies cos(phi) ergeben, wenn yL=0 ist. Dies kommt bei nichten 'raus!
Warum?

Uwe

16.05.2023, 17:10

klauss

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Deine Schreibweise ist leider nicht so gut wie möglich formatiert, deswegen muß man immer etwas über die Bedeutung grübeln.

Zitat:

Der einfallende Strahl berechnet sich aus Vektor zum Punkt P minus Schnittpunkt und sollte somit folgende Koordinaten haben:

sx=sqrt(r**2-yL**2)
sy=yl
und sz=h-(sqrt(r**2-yl**2)-xL)*tan(phi)

Das ist nicht der einfallende Strahl, sondern die Koordinaten des Auftreffpunkts am Zylindermantel.

Zitat:

Wenn ich nicht ganz falsch liege (tue ich wohl), dann ist der Vektor n zwischen Mittelachse und dem Schnittpunkt (Normalenvektor auf die Mantelfläche) gegeben durch:

nx=sqrt(r**2-yL**2)
ny=yL
und nz=(sqrt(r**2-yl**2)-xL)*tan(phi)

Da der Zylinder sozusagen aus lauter „übereinandergestapelten Kreisen“ besteht, ist der Normalenvektor für alle Auftreffpunkte mit denselben x-y-Koordinaten gleich, unabhängig von der z-Koordinate. Die Tangentialebene im Auftreffpunkt ist also eigentlich eine Tangentialebene für alle senkrecht übereinanderliegenden Punkte der Mantelfläche.
Der Normalenvektor ist gegeben durch die horizontale Verbindung zwischen Auftreffpunkt und Mittelachse, hat also keine Ausdehnung in z-Richtung ( $\begin{eqnarray*} n_{z}=0 \end{eqnarray*}$ ).
In meinem Beitrag 13.05.2023 20:22 habe ich den x-y-Koordinaten extra ein Minus vorangestellt, damit der Normalenvektor gleich ins Zylinderinnere zeigt.

16.05.2023, 17:35

unass

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Hallo Klauss,

das habe ich ja verstanden, trotzdem müssten beide Vektoren (wie beschreibst du diese, bzw. wie
beechnet man sie....?) bei yL=0 den Winkel phi miteinander bilden. Ich dreh mich im Kreis oder ich bin am
Durchdrehen. Es ist zum verrückt weden.

Uwe

16.05.2023, 18:10

klauss

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So langsam mit Verzögerung kapiere ich dann immer, was Du meinst ...
Im Prinzip hast Du recht, ABER: Bei $\begin{eqnarray*} y_{L}=0 \end{eqnarray*}$ bilden der Einfallsstrahl und der Normalenvektor den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha=180°-\varphi \end{eqnarray*}$ ! Denn wenn man die Fußpunkte der Vektoren aneinanderlegt, zeigt der Normalenvektor ins Zylinderinnere und der Einfallsstrahl nach außen.
Folgerichtig ergibt die Anwendung der Schulformel für den Winkel zwischen 2 Vektoren hier
$\begin{eqnarray*} \cos\alpha=-\cos\varphi \end{eqnarray*}$

16.05.2023, 18:34

unass

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Hallo Klauss,

irgendwie hast du Recht. Aber..... Der Strahl kommt von oben, bildet also mit dem Normalenvektor
in diesem Fall mit der x-Achse den Winkel 90-phi und mit der z-Achse den Winkel phi, oder umgekehrt.
Multipliziert man diese zwei Vektoren muss doch cos(phi) herauskommen, egal ob yL=0 ist. Letzteres besagt nur,
dass wir uns in der x-z Ebene bewegen. Ist yL >< 0, dann ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren eine
ziemlich komplizierte Mischung, die sich nicht so einfach beschreiben lässt, eben nur mit dem Vektorprodukt.

Gruß Uwe

16.05.2023, 19:08

klauss

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Deine Einwände geben immerhin Gelegenheit, meine Rechnung zu überprüfen, und bisher hat sich kein Fehler aufgetan. smile

smile

Zitat:

Der Strahl kommt von oben, bildet also ... mit der x-Achse den Winkel 90-phi und mit der z-Achse den Winkel phi, oder umgekehrt.

Ja - bei mir umgekehrt.

Zitat:

Multipliziert man diese zwei Vektoren muss doch cos(phi) herauskommen, egal ob yL=0 ist.

Nein, nur bei $\begin{eqnarray*} y_{L}=0 \end{eqnarray*}$ liegt der Normalenvektor selbst in Richtung der x-Achse, womit sein Winkel mit dem Einfallsvektor $\begin{eqnarray*} 180°-\varphi \end{eqnarray*}$ wird.

Zitat:

Letzteres besagt nur, dass wir uns in der x-z Ebene bewegen.

Eben. Ist $\begin{eqnarray*} y_{L}\neq 0 \end{eqnarray*}$ , läuft der Einfallsstrahl weiterhin parallel zur x-z-Ebene, aber die Reflexion erfolgt schräg nach innen unten in einem anderen Winkel.

16.05.2023, 20:12

unass

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Hallo Klauss,

so ganz verstehe ich das immer noch nicht... Fällt der Strahl bei yL=const., also parallel zu x-z Ebene, ein,so
bildet er beim Auftreffen auf die gegenüberliegende Zylindermantelfläche einen Winkel mit der dortigen
Manteltangentenoberfläche. Im 2D Fall ist dies der Schnittpunkt der Sekanten parallel zu x-Achse mit dem Kreis. Hier
ist die Normale der Radiusvektor zum Schnittpunkt. Dieser Radiusvektor bildet einen Winkel cos(phi) den
man mittels des Skalarproduktes berechnen kann.

Wie beschreibe ich die Normale in Koponenten im 3D Fall. Irgendwie ist das (r cos(psi), r sin(psi, h). psi kenne ich aber
nicht....

Uwe

16.05.2023, 21:52

klauss

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In 2D gibt es aber von Haus aus nur eine Ebene, in der alle Objekte zusammen liegen. Insbesondere ist dort das, was in 3D $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ heißt, immer gleich 0, weil sich der Einfallsstrahl nicht gegen die 2D-Ebene neigen kann.
In 2D hängt der Winkel zwischen Einfallsstrahl und Normaler nur von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ab. In 3D von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ .
In 3D vollzieht auch die Ebene aus einfallendem und reflektiertem Strahl eine Drehung im Raum.

Den Manteltangentenoberflächennormalenvektor in 3D habe ich 13.05.2023 20:22 erstmals genannt. Der ist nichts anderes als die Projektion des Kreisradiusvektors am Auftreffpunkt in die x-y-Grundebene. Daher $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Komponente 0.

16.05.2023, 22:30

unass

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Hallo Klauss,

so weit so gut.... Vorerst letzte Frage: Wenn ich die x,y-Kordinaten des Richtungsvektors des reflektierten Vektors habe
(muss ich noch versuchen herzuleiten), also xv,yv in die Parameterform des reflektierten Vektors: x=xs+mu*xv,
y=ys+mu*yv einsetze und daraus dann die quaratische Gleichung in mu bilde, also x**+y**=r**2 erhalte ich dann mu und
somit den nächsten Schnittpunkt mit der Zylindermantelfläche?

Uwe

16.05.2023, 22:51

klauss

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Darüber werde ich nachdenken und ein paar Proberechnungen durchführen, bevor ich mich äußere. Das kann morgen allerdings später werden, da ich zeitlich gebunden bin.
Schon jetzt wird zu bedenken sein, dass es je nach $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und der Lage von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ häufig so keinen direkten nächsten Schnittpunkt mit dem Mantel geben wird, da der reflektierte Strahl auf den Boden trifft.

17.05.2023, 13:27

unass

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Hallo Klauss,

der Reflektionsvektor R ist mit Hilfe des einfallenden Vektors I und des Normalenvektors N gegeben durch:

vektorR = vektorI-2.*(vektorN.vektorI) *vectorN

mit vectorI=(lambda*cos(phi),0,-lambda*sin(phi)), dem Richtungsvektor des einfallenden Strahls und
vektorN=(-sqrt(r**2-yL**2),yL,0.) ergeben sich leider NICHT deine angegebene Koordinaten des reflektierten Strahls.
Wo (seufz) ist der Fehler?

Schönen Vatertag schon einmal.

Uwe

17.05.2023, 14:50

klauss

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RE: Richtungsvektor im Zylinder
Zwischennachricht:
Mit der Berechnung des reflektierten Vektors $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ habe ich mir Mühe gegeben.
1) Berechnung der Länge der Projektion von $\begin{eqnarray*} \vec{AL} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$
2) Berechnung des Hilfspunkts $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ = Lotfußpunkt von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$
3) Spiegelung von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} L' \end{eqnarray*}$ unter Verwendung von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$
4) Berechnung von $\begin{eqnarray*} \vec{v} =\vec{AL'} \end{eqnarray*}$ als Richtungsvektor des reflektierten Strahls

L = Einfallsloch
A = Auftreffpunkt auf Zylindermantel
$\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ = Manteltangentenoberflächennormalenvektor

Wenn Du mein Ergebnis 14.05.2023 05:08 überprüfen willst, wirst Du einige Zeit beschäftigt sein.

17.05.2023, 15:11

unass

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Hallo Klauss,

dies wollte ich mir eigentlich so ersparen, da ich ja im Raytracing den reflektierten Strahl weiter verfolgen muss
und den wieder spiegeln muss, etc. Meine angegebene Formel ist die für Spiegelung allgemein gültige, d. h. beides
(dein Verfahren und mein Förmelchen) sollten eigentlich dasselbe ergeben. Wo, bitte wo, ist der Unterschied???

Uwe.

17.05.2023, 15:43

klauss

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Deine Rechnung kann ich momentan nicht nachvollziehen. Ich weiß nur, dass Einfallsstrahl, Einfallslot und Ausfallsstrahl in einer Ebene liegen müssen. Letztere ändert ständig - wie gestern abend gesagt - ihre Lage im Raum.

Zitat:

Wo, bitte wo, ist der Unterschied???

Bislang in mehreren DINA4-Seiten Rechnung. Sofern mein etwas wüstes Ergebnis stimmt, möchte ich erst noch einen simplen Weg sehen, der dasselbe liefert.
Insbesondere wird nicht einfach eine Standard-Spiegelungsformel genügen, die z. B. nur für eine feste Ursprungs-Spiegelachse gilt.

17.05.2023, 21:45

klauss

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Zitat:

Wenn ich die x,y-Kordinaten des Richtungsvektors des reflektierten Vektors habe, also xv,yv in die Parameterform des reflektierten Vektors: x=xs+mu*xv, y=ys+mu*yv einsetze und daraus dann die quaratische Gleichung in mu bilde, also x**+y**=r**2 erhalte ich dann mu und somit den nächsten Schnittpunkt mit der Zylindermantelfläche?

Ich habe ein bißchen über den Vorschlag nachgedacht und glaube vorläufig, dass die Idee an sich richtig wäre. Anders formuliert: Der reflektierte Strahl befindet sich erneut auf der Mantelfläche, wenn er auf seinem Weg den Abstand $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ von dem z-Achsen-Punkt in seiner momentanen Höhe hat.
Nebenbedingung: Die z-Komponente an dieser momentanen Position muß zwischen 0 und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ liegen, sonst wäre der Strahl außerhalb des Zylinders.

Mit den bisherigen Zwischenergebnissen müßte, wenn ich mich nicht vertan habe, also die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \left[r^{2}\sqrt{r^{2}-y_{L}^{2} }+\lambda\cdot \left(2y_{L}^{2}-r^{2}\right)\left(\sqrt{r^{2}-y_{L}^{2} }-x_{L} \right) \right]^{2} + \left[r^{2}y_{L}+\lambda\cdot 2y_{L}\left(y_{L}^{2}+x_{L}\sqrt{r^{2}-y_{L}^{2} } -r^{2} \right)\right]^{2} =r^{6} \end{eqnarray*}$
nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ aufgelöst werden.

20.05.2023, 12:07

unass

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Hallo Klauss,

ich werde nun "meine" Formel für den reflektierten Strahl anwenden. Ein paar Testrechnungen (z.B. xL=yl=0) haben
sinnvolle Ergebnisse ergeben. Wie man daraus den nächsten Punkt im Zylinder berechnet findet man unter

https://www.cl.cam.ac.uk/teaching/1999/A...SMAG/node2.html

Sieht ganz gut aus. Vielen Dank noch einmal für deine Hilfe und alles Gute,

Uwe

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