Rechenregel der Sylvestermatrix zeigen

15.05.2023, 13:44

Malcang

Rechenregel der Sylvestermatrix zeigen

Hallo zusammen,

ich habe ein Problem, eine Rechenregel der Sylvestermatrix zu zeigen.
Die Definition der Matrix ist
[attach]57074[/attach]
Die Aussage mit knappem Beweis ist diese Aussage a):
[attach]57075[/attach]

Ich möchte gerne das Argument verstehen, warum $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ eine Dreiecksmatrix mit 1 auf der Hauptdiagonalen ist.
Wenn ich in den Polynomen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ersetze durch $\begin{eqnarray*} (x-c) \end{eqnarray*}$ und ausklammere, dann bleibt mir der Grad der Polynome erhalten.
Außerdem ändern sich die Koeffizienten am Monom mit dem höchsten Grad nicht.
Daher kommen meines Erachtens nach die Einsen auf der Hauptdiagonalen.
Aber wie kann ich begründen, dass eine Dreiecksmatrix vorliegt?

15.05.2023, 18:24

IfindU

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Mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n=0}^m a_n x^n \end{eqnarray*}$ ist (sofern ich mich nicht vertue) $\begin{eqnarray*} f(x-c) = \sum_{n=0}^m a_n (x-c)^n = \sum_{n=0}^m a_n \sum_{k=0}^n \binom n k x^k (-c)^{n-k} =\sum_{k=0}^m \left( \sum_{n=k}^{m} a_{n}\binom n k (-c)^{n-k} \right)x^k = \sum_{k=0}^m \widetilde a_{m,k} x^k \end{eqnarray*}$ ,
wobei $\begin{eqnarray*} \widetilde a_{m,k} = \sum_{n=k}^{m} a_{n}\binom n k (-c)^{n-k} \end{eqnarray*}$ nur von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \geq k \end{eqnarray*}$ abhängt.

Damit kann man die Dreiecksmatrix explizit angeben.

16.05.2023, 09:05

HAL 9000

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@Malcang

Vielleicht gibst du das nächste mal einfach nur den Wiki-Link an, denn wenn man noch nie was von Sylvester-Matrizen gehört hat, lässt dein Beitrag viele notwendige Informationen vermissen, um überhaupt erstmal die Struktur zu erfassen: Weder wird gesagt, was die $\begin{eqnarray*} a_k,b_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ zu tun haben, noch wie viele Matrixzeilen die ... repräsentieren sollen. Ganz zu schweigen davon, dass zu $\begin{eqnarray*} R_{f,g} \end{eqnarray*}$ gar nichts gesagt wird.

16.05.2023, 09:42

Malcang

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Danke IfindU,

Die Argumentation kann ich nachvollziehen. Aber diese Gleichheit

Zitat:

Original von IfindU
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^m a_n \sum_{k=0}^n \binom n k x^k (-c)^{n-k} =\sum_{k=0}^m \left( \sum_{n=k}^{m} a_{n}\binom n k (-c)^{n-k} \right)x^k \end{eqnarray*}$

Ist mir nicht unmittelbar klar verwirrt

was passiert hier?
@HAL 9000:
Oh, darüber hab ich in der Tat nicht nachgedacht. Sorry, das nächste mal werde ich viel genauer sein.

16.05.2023, 09:58

IfindU

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Man kann das als eine Summe über alle Paare mit $\begin{eqnarray*} 0 \leq k \leq n \leq m \end{eqnarray*}$ auffassen. In der linken Darstellung durchläuft man die Indizes, indem man erst $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ fixiert und dann über alle kleineren $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ läuft. In der rechten Darstellung indem man $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ fixiert und dann über alle größeren $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ läuft.

Es passiert also nichts anderes als das Kommutativgesetz anzuwenden.

17.05.2023, 22:34

Malcang

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Ich glaube dass war es, was mir fehlte. Ich danke euch smile

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