Fallunterscheidung wegen Betragsstrichen

16.05.2023, 08:45

punktlandung3

Fallunterscheidung wegen Betragsstrichen

Meine Frage:
Verflixt, da sind sie die Tomaten auf den Augen.

Wer findet den Fehler das formal richtig zu stellen bitte?
(und warum)

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! \frac{1}{1+|x| } \, dx = \left[ln|1+|x|\right]_{-\infty}^{\infty} = \left(x>0\right); \left[ln|1+x| \right]_{0}^{\infty}+\left(x<0\right); \left[ln|1-x| \right]_{-\infty}^{0} = \infty - \infty =0 \end{eqnarray*}$

Herauskommen muss aber $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ dieser Scheitelfunktion.

16.05.2023, 10:20

klauss

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RE: Fallunterscheidung wegen Betragsstrichen
Für positive $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ lautet der Integrand $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$ , graphisch eine Verschiebung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ um 1 Einheit in negativer x-Richtung;
Für negative $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ lautet der Integrand $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ , graphisch eine Spiegelung des positiven Zweigs an der y-Achse;

Der Integrand ist eine stetige Funktion.

Der Graph des Integranden ist insgesamt symmetrisch zur y-Achse und verläuft überall oberhalb der x-Achse.

Man könnte somit
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{0} \! \frac{1}{1-x} \, dx + \int_{0}^{\infty } \! \frac{1}{1+x} \, dx \end{eqnarray*}$
berechnen oder sich aufgrund der Symmetrie gleich auf den positiven Zweig beschränken.

16.05.2023, 10:28

HAL 9000

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Selbst wenn die Stammfunktion richtig gewesen wäre: Eine Rechnung der Form $\begin{eqnarray*} \infty - \infty = 0 \end{eqnarray*}$ ist einfach nur unzulässig, und außerdem grauenhaft im Anblick. unglücklich

22.05.2023, 19:16

punktlandung3

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Zitat:

Original von HAL 9000
Selbst wenn die Stammfunktion richtig gewesen wäre: Eine Rechnung der Form $\begin{eqnarray*} \infty - \infty = 0 \end{eqnarray*}$ ist einfach nur unzulässig, und außerdem grauenhaft im Anblick. unglücklich

Das stimmt wohl, doch leider erklärt es nicht wie so ein Ergebnis zu werten wäre, und auch nicht wo der Fehler in der Rechnung ist! Ich sagte doch ich versuche das mit Gemüsepackung auf.

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{0} \! \frac{1}{1-x} \, dx = \left[ln|1-x| \right]_{-\infty }^{0} = ln|1| - \lim_{n \to -\infty } ln|1-n| = 0 - \infty \end{eqnarray*}$

Oder ist das einer dieser "Grenzwerte" die wir wie Runen lernen, "ist wie es ist", dann müsste es dennoch eine Herleitung geben.

22.05.2023, 20:00

Leopold

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Mit Runen hat das nichts zu tun, sondern es ist schlicht falsch.

Eine Stammfunktion von $\begin{align*} f(x) = \frac{1}{1-x}, \ x<1 \end{align*}$ ist $\begin{align*} F(x) = - \ln(1-x) \end{align*}$ , so daß man für $\begin{align*} a<0 \end{align*}$ Folgendes erhält:

$\begin{align*} \int_a^0 \frac{\dd x}{1-x} = F(0) - F(a) = 0 + \ln(1-a) \ \to \ \infty \ \ \mbox{für} \ \ a \to - \infty \end{align*}$

Es ist daher

$\begin{align*} \int_{- \infty}^0 \frac{\dd x}{1-x} = \infty \end{align*}$

Oder leger notiert: $\begin{align*} \int_{- \infty}^0 \frac{\dd x}{1-x} = 0 - (- \infty) = \infty \end{align*}$

Einen Ausdruck wie $\begin{align*} \infty - \infty \end{align*}$ gibt es nur, um über ihn zu sprechen, keinesfalls hat dieser Ausdruck einen festen Wert. Solche Ausdrücke heißen unbestimmte Ausdrücke. Dagegen ist die Rechnung $\begin{align*} 0 - (- \infty) = \infty \end{align*}$ problemlos.

23.05.2023, 11:39

punktlandung3

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atoll was,

in der Mathe-Bibel (Formelwerk F4) steht durchaus sowas wie "(1 durch (1 plus x)) integriert ist ln|1+x|" Lehrer

ohne Angabe von Vorzeichen oder Intervallen und ich hatte gestaunt und das immer fleißig verwendet.

23.05.2023, 11:50

Leopold

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Man muß eine Formelsammlung auch zu lesen wissen. Keine Formelsammlung der Welt kann die Kettenregel außer Kraft setzen.

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