Axiome reverse engineered

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Justice Auf diesen Beitrag antworten »
Axiome reverse engineered
Hallo zusammen

Besteht die Möglichkeit Mathematische Axiome iterativ anzupassen, so das z.B. ggf. unlösbare Gleichenung lösbar werden?

z.B.: 1/0= 1# und "#" steht für etwas (definiert in den erneuerten Axiomen)

oder auch das

Zeta(1) nicht undendlich ist, sondern = Pi.

Oder kann man eineindeutig beweisen, das es solche Axiome nicht geben kann? wäre auch interessant.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Axiome sind Annahmen, die für bestimmte Theorien geeignet und dafür gültig sind. Man kann annehmen was man will, das ändert nicht die bestehenden Theorien sondern erzeugt im besten Fall neue Theorien, meistens aber nur Unsinn.
1/0 ist seit der Erfindung der 0 als Unsinn im der Zahlentheorie bekannt, in anderen Theorien darf man auch durch 0 teilen.
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Hey vielen Dank Elvis!

Wäre es den Möglich Axiome so zu definieren, das alle bekannte Mathematik-Anwendungen in sich widerspruchsfrei sind und man Zeta(1)=Pi erhalten kann?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt viele zetas, da kann man locker noch eine neue Theorie erfinden, die als erstes Axiom zeta(1)=pi hat. Das stört keine andere Theorie und kein anderes zeta. Man darf die zetas nur nicht in einen Topf werfen und die Theorien durcheinander bringen.
Wenn du die Riemannsche -Funktion meinst, die ist überall in holomorph und hat an der Stelle 1 einen Pol. Ein Pol ist keine hebbare Singularität, deshalb macht keinen Sinn.
Ob die Mathematik widerspruchsfrei ist, wissen wir nicht, und beweisen können wir es auch nicht. Viel wichtiger ist, dass ein paar mathematische Theorien gut funktionieren und dass man mit Mathematik theoretisch unendlich lange Spaß haben kann (praktisch nur so lange, wie es Mathematiker gibt, danach ist der Spaß zu Ende).
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Elvis.

Mit wiederspruchsfrei meinte ich das Axiomensystem insich.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann man nicht wissen, ob aus Axiomen eine Theorie entsteht, in der im Jahr 72023 eine Aussage und ihre Negation bewiesen werden wird. Kann vielleicht auch in 5 Millionen Jahren passieren, oder in Jahren, wenn das letzte Elementarteilchen zerfällt, also praktisch nicht aber theoretisch möglich.
 
 
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei unabhängige Fragen:

(1) Was meinst du mit "Theorie"?

(2) Ein Axiomsystem kann doch für die Ewigkeit als Wiederspruchsfrei bewiesen werden, oder nicht?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine mathematische Theorie sind alle wahren Sätze, die aus den Axiomen logisch ableitbar (=beweisbar) sind.
Ein Axiomensystem ist genau dann widerspruchsfrei, wenn die zugehörige Theorie widerspruchsfrei ist. Das kann man im allgemeinen nicht beweisen, wie Gödel bewiesen hat.
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Elvis.

D.h. ich kann kein Axiomsystem ohne Theorie haben? geht das zwingend immer Hand in Hand?

Wenn ja, könntest du das erläutern wieso?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Theorie = Axiome + Logik
Logik haben wir immer, also folgt aus Axiomen immer eine Theorie. Wenn wir die Logik vergessen, bleiben sinnlose Axiome übrig.

Beispiel für ein sinnloses Axiomensystem : 1+1=2
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte es wäre:

Axiomsystem = Logik + Gleichungen ( + Annahmen )

ist diese Annahme falsch?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ganz eindeutig falsch, und ich verstehe nicht, wie du so etwas denken kannst. Schau das Beispiel der Dedekind-Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen an, da wird nur festgelegt, welche Regeln die Menge der natürlichen Zahlen erfüllen muss. (https://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome). Annahmen gehören überhaupt nicht dazu, die Logik ist unabhängig von allen Axiomensystemen (abgesehen von den Axiomen, die die Logik festlegen (https://people.math.ethz.ch/~halorenz/4s...ikGT/Logik2.pdf)).
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die Peano-Axiome sind für mich "Annahmen" keine Gleichungen. Und die verwendeten Symbolik und Syntax ist die Logik.

Weil ohne Logik machen die ganzen Ausdrücke ja keinen Sinn oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

So einfach ist das nicht. Die Axiome sind die Sätze, die man ohne Beweis voraussetzt. Sie sind Spielregeln für die Objekte und Strukturen, mit denen man arbeiten und denken möchte. Die Logik erklärt die Schlußregeln, mit denen man aus den Axiomen weitere Sätze ableiten kann.
Die Axiome der natürlichen Zahlen sind kein Teil der Logik, weil sie nicht allgemeingültig sind. Sie gelten nicht einmal für alle Zahlen sondern nur speziell für die natürlichen Zahlen. Axiome können logische Symbole enthalten oder ebensogut in Worten formuliert werden.
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Okay jetzt versteh ich was du meinst.

Also kann es kein Axiomsystem geben ohne Theorie, die sie nutzt?

Kann ich nicht einfach ein Axiomsystem kreiiren ohne sie in einer therie anzuwenden?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht und ist sinnlos. Ein sinnloses Beispiel habe ich mit 1+1=2 gegeben. Stimmt für natürliche Zahlen, stimmt nicht für Restklassen modulo 2.
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Aber muss ich in meinem Axiomsystem nicht die natürliche Zahlen definieren? gehört die Definition der natürlichen Zahlen fix zur Theorie?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

|+|=|| kann man einem Kind in der Vorschule beibringen. Das ist eine Rechenregel, die man als Axiom betrachten darf. Daraus folgt nichts weiter, aber es praktisch und nützlich.
Um die natürlichen Zahlen zu verstehen, ist es hinreichend, die Dedekind-Peano-Axiome zu kennen und z.B. "Was sind und was sollen die Zahlen ?" zu studieren.
Ein Axiom ist eine Sache, eine Theorie ist eine ganz andere Sache. Für eine brauchbare Theorie muss man ein paar Objekte, ein paar Axiome und ein bißchen Logik haben, dann entsteht daraus die Theorie durch fleißiges Nachdenken.
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Wieviele Axiome benötig die Komplexe Zahlentheorie? oder sind Komplexe Zahlen Objekte?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die natürlichen Zahlen sind vollkommen ausreichend. Leopold Kronecker sagt : "Alles andere ist Menschenwerk." Für einen Aufbau aller Zahlkörper (rationale, reelle, komplexe bzw. p-adische) siehe Edmund Landau und Kurt Hensel. Für weitere Zahlen (Ordinalzahlen und Kardinalzahlen) siehe Georg Cantor.
Richard Dedekind hat sich mit seiner axiomatischen Begründung der natürlichen Zahlen durchgesetzt, während Gottlob Frege und Bertrand Russell mit ihren logizistischen Begründungen (Begriffsschrift und Principia Mathematica) grandios und kläglich gescheitert sind. Der eine, weil die Mengenlehre noch nicht weit genug entwickelt war, der andere wegen Mangel an mathematischen Fähigkeiten.
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