Gleichheit zeigen (symmetrische Bilinearform)

16.05.2023, 18:16

Marko_K

Gleichheit zeigen (symmetrische Bilinearform)

Meine Frage:
Hallo smile

ich versuche momentan folgende Aufgabe zu lösen:

Sei V ein n-dimesnionaler Vektorraum und B eine symmetrische Bilinearform auf V mit Rang R und Signatur [latex] l_{+} = \frac{r+s}{2} und l_{-} = \frac{r-s}{2} [\latex].
Zeigen Sie die Gleichheit:
[latex] l_{\sigma} = max\left\{ dim U | U \subseteq V Untervektorraum, sodass \sigma B_{UxU} positiv definit ist \right\} mit \sigma \in \left\{ +,-\right\} [\latex].

Meine Ideen:
Ich weiß nicht wirklich wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Bisher habe ich mir die Definitionen rausgesucht, aber wie kann ich die allgemeine Gleichheit zeigen? Zumal ich auch nicht weiß, wie genau die Menge eigentlich aussieht.

Danke für jede Hilfe!

16.05.2023, 19:12

Elvis

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RE: Gleichheit zeigen (symmetrische Bilinearform)

Zitat:

Original von Marko_K
Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und B eine symmetrische Bilinearform auf V mit Rang R und Signatur $\begin{eqnarray*} l_{+} = \frac{r+s}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l_{-} = \frac{r-s}{2} \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie die Gleichheit:
$\begin{eqnarray*} l_{\sigma} = max\{ dim U | U \subseteq V \end{eqnarray*}$ Untervektorraum $\begin{eqnarray*} \} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \sigma B_{UxU} \end{eqnarray*}$ positiv definit ist mit $\begin{eqnarray*} \sigma \in \left\{ +,-\right\} \end{eqnarray*}$ .

latex korrigiert (vielleicht richtig). Ich verstehe die Aufgabe nicht.

16.05.2023, 19:59

IfindU

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RE: Gleichheit zeigen (symmetrische Bilinearform)

Zitat:

Original von Elvis

Zitat:

Original von Marko_K
Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und B eine symmetrische Bilinearform auf V mit Rang $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und Signatur $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ . Setze $\begin{eqnarray*} l_{+} = \frac{r+s}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l_{-} = \frac{r-s}{2} \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie die Gleichheit:
$\begin{eqnarray*} l_{\sigma} = \max\{ \dim U | U \subseteq V \text{ Untervektorraum, sodass } \sigma B_{U \times U} \text{ positiv definit ist}\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sigma \in \left\{ +,-\right\} \end{eqnarray*}$ .

latex korrigiert (vielleicht richtig). Ich verstehe die Aufgabe nicht.

Dabei ist $\begin{eqnarray*} \sigma B_{U \times U} \end{eqnarray*}$ entweder $\begin{eqnarray*} +B_{U \times U} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -B_{U \times U} \end{eqnarray*}$ . Das heißt man betrachtet die UVR $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , wo die Einschränkung von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ entweder positiv bzw. negativ definit ist.

Ich denke so macht es mehr Sinn, auch wenn ich nicht wüsste, warum das richtig ist. Vermutlich kann man recht direkt aus Rang und Signatur geeignete Vektoren zaubern, die die entsprechenden UVR $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ aufspannen.

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