Potential eines Vektorfeldes

18.05.2023, 11:27	Conductor	Auf diesen Beitrag antworten »
Potential eines Vektorfeldes Meine Frage: Ich muss überprüfen, ob das Vektorfeld $\begin{eqnarray} (y cos(x)+y^2, sin(x)+2xy-2y) <br /> \end{eqnarray}$ ein Potential auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ hat und es gegebenenfalls ausrechnen. Ich wollte fragen, ob mein bisheriger Weg richtig ist oder nicht und wie ich das Potential ausrechne. Meine Ideen: Wenn ich richtig verstanden habe, muss $\begin{eqnarray} \frac{\delta F_1}{\delta y} = \frac{\delta F_2}{\delta x} \end{eqnarray}$ gelten, damit ein Potential vorliegt. Ich habe es ausgerechnet und $\begin{eqnarray} \frac{\delta F_1}{\delta y} = \cos(x)+2y , \frac{\delta F_2}{\delta x} = \cos(x) +2y \end{eqnarray}$ erhalten, was das Kriterium erfüllt.
18.05.2023, 11:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
EDIT: Beitrag gelöscht, weil Conductor seinen Beitrag formelmäßig total umgeschrieben hat.
18.05.2023, 11:41	Conductor	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung, mir ist versehentlich ein Fehler unterlaufen. Wie mache ich denn nun weiter?
18.05.2023, 11:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Gesucht ist Potentialfunktion $\begin{eqnarray} U(x,y) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{\partial U}{\partial x} = y\cos(x)+y^2\qquad (1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial U}{\partial y} = \sin(x)+2xy-2y\qquad (2) \end{eqnarray}$ Dazu kann man beispielsweise (1) bzgl. $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ integrieren, Ergebnis ist $\begin{eqnarray} U(x,y) = y\sin(x) + xy^2 + C(y) \end{eqnarray}$ mit (ggfs. von der anderen Variablen $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ abhängigen) Integrationskonstante $\begin{eqnarray} C(y) \end{eqnarray}$ . Dies nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ abgeleitet und mit (2) verglichen ergibt sich $\begin{eqnarray} \sin(x) + 2xy + C'(y) = \sin(x)+2xy-2y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C'(y) = -2y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C(y) = -y^2 + C_1 \end{eqnarray}$ Gesamtergebnis ist somit $\begin{eqnarray} U(x,y) = y\sin(x) + xy^2 - y^2 + C_1 \end{eqnarray}$ . P.S.: Man kann genauso damit anfangen, (2) bzgl. $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ zu integrieren usw., ist rum wie num.

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