Verständnisbeispiel Dualraum

19.05.2023, 17:03	mm96	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisbeispiel Dualraum Meine Frage: Ich hab mal versucht ein einfaches Beispiel bzgl. des Dualraums zu konstruieren, die Frage wäre jetzt ob das so korrekt ist? Als Basis eines eindimensionalen Vektorraums V würde ich die Funktion sin(x), x reell, nehmen. Der zugrunde liegende Körper K sollen die reellen Zahlen sein. Jetzt könnte man ja jeden Vektor z. B. auf seine maximale Amplitude abbilden. Diese Abbildung f wäre dann ein Element des dualen Vektorraums V. Diese Abbildung wäre gleichzeitig eine Basis des Dualraums, weil die Abbildung des Basisvektors sin(x) eine 1 ergibt, also f(sin(x)) = 1, oder als Vektorschreibweise e_1^ e_1 = \delta_{11}. Wenn man jetzt den Bidualraum V** anschaut: Dessen Elemente müssen ja die Abbildung f auf einen Skalar aus K abbilden und zwar so, dass jede Funktion aus V* bzgl. des sin(x) wieder auf die 1 abgebildet wird. Hier verstehe ich was nicht: Im Wikipediaartikel "Dualraum" steht beim Bidualraum, dass der Vektorraum V ein Unterraum von V ist. Das heißt doch, dass dann z. B. sin(x) ein Element von V sein müsste, aber dann müsste ja sin(f(sin(x))) = 1 sein, was definitiv falsch ist. Irgendwo stimmt da was gewaltig nicht... Meine Ideen:
19.05.2023, 17:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Erste Stelle: Die Abbildung, welche $\begin{eqnarray} \{\lambda \sin \| \lambda \in \mathbb R\} \end{eqnarray}$ auf die maximale Amplitude abbildet, ist nicht linear. Wenn $\begin{eqnarray} \lambda = \pm 1 \end{eqnarray}$ ist, dann ist die maximale Amplitude jeweils 1. Was geht, so kann man z.B. die Auswertung bei $\begin{eqnarray} x_0 = \frac \pi 2 \end{eqnarray}$ nehmen. Dann wäre $\begin{eqnarray} f( \sin) = \sin(x_0) = 1 \end{eqnarray}$ . Andererseits wäre $\begin{eqnarray} f( - \sin ) = - \sin(x_0) = -1 \end{eqnarray}$ . Die Abbildung ist tatsächlich linear. Zum anderen ist $\begin{eqnarray} V \subset V^{} \end{eqnarray}$ nicht "korrekt". Es gibt eine natürliche Inklusion von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} V^{} \end{eqnarray}$ , aber formal ist es keine Untermenge. In dem Fall gibt es $\begin{eqnarray} \iota: V \to V^{} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \iota \end{eqnarray}$ linear und injektiv. Man definiert $\begin{eqnarray} \iota ( \sin )(f) = f(\sin) = \sin(x_0) = 1 \end{eqnarray}$ .
19.05.2023, 18:54	mm96	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, danke! So wie ichs jetzt verstehe, steckt dahinter, platt formuliert, durch die Funktion $\begin{eqnarray} \iota \end{eqnarray}$ eine Konstruktion zu schaffen, um einen dualen Raum zu V* zu schaffen unter der Verwendung von V; im Prinzip wäre es schön, wenn V auch der Dualraum zu V* wäre, aber da die Elemente von V nicht von V* nach K abbilden, benutzt man $\begin{eqnarray} \iota \end{eqnarray}$ aus V**, um den Effekt über einen Umweg zu erzeugen. Klingt etwas wirr, aber ich glaub ich habs zumindest besser kapiert als vorher . Danke nochmal!
19.05.2023, 19:17	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man so stehen lassen Sofern der Raum endlich-dimensional ist, ist die Inklusion $\begin{eqnarray} \iota \end{eqnarray}$ sogar eine Bijektion. Die Bijektion ist kanonisch gegeben, d.h. es hängt nicht von der Wahl von Basen ab. Das ist ein so schöner Isomorphismus, dass man $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ kaum von $\begin{eqnarray} \iota(V) \end{eqnarray}$ unterscheidet. Daher wirst du häufiger finden, dass man es nicht unterscheidet. Streng genommen sind es aber andere Räume. Fußnote: Für alle reflexiven Banachräume sollte $\begin{eqnarray} \iota \end{eqnarray}$ eine Bijektion sein. Das ist aber etwas fortschrittlicher.

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