Gliedweise Integration Fourierreihe

20.05.2023, 01:18

NewMathematiker95

Gliedweise Integration Fourierreihe

Guten Abend ich habe folgende Funktion gegeben:
$\begin{eqnarray*} f(x)=cos(x)+isin(x) \end{eqnarray*}$ und habe davon die komplexe Fourierreihe berechnet und komme auf $\begin{eqnarray*} e^{ix} \end{eqnarray*}$ .

Im script steht : gliedweise Integration ist möglich wenn f(x) eine stetige Funktion ist und für den 0ten komplexen Fourierkoeffizient gilt das er 0 ist.

Aufgabe : Bestimmen sie durch gliedweise Integration die Fouriereihe von F(x).

Meine Idee: also das der 0te komplexe Fourierkoeffizient 0 ist habe ich schon ausgerechnet. und f ist auch stetig und stückweise stetig , also kann ich gliedweise integrieren.
und erhalte dann als Fourierreihe der Stammfunktion: $\begin{eqnarray*} F(x)=-ie^{ix} \end{eqnarray*}$ .
Das stimmt auch mit der Fourierreihe überein wenn ich die Stammfunktion normal bilde und davon die Fourierreihe berechne.

Nun die Aufgabe die mir gedanklich Probleme macht:
Ist gliedweise Integration auch zur Bestimmung der Fourierreihe einer Stammfunktion von g(x) :=f(x) +1 anwendbar?

Meine Idee: also g(x) ist ja dann $\begin{eqnarray*} cos(x)+isin(x)+1 \end{eqnarray*}$ und ist stetig. Wenn och davon die Komplexe Fouriereihe ausrechne komme ich auf $\begin{eqnarray*} e^{ix}+1 \end{eqnarray*}$ macht ja auch Sinn.
Dies könnte man ja normalweise einfach integrieren und hätte $\begin{eqnarray*} F(x)=-ie^{ix}+x \end{eqnarray*}$

Wenn ich aber nun den 0ten komplexen Fourierkoeffizient ausrechne: komme ich aber für den ersten Teil auf 0 aber wenn ich für das +1 den komplexen Fourierkoeffizient ausrechne komme ich für den 0ten auf 1 und dann wäre es ja laut dem script dann nicht möglich...

Hoffe ich versteht was ich meine....

20.05.2023, 08:33

IfindU

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RE: Gliedweise Integration Fourierreihe

Zitat:

Original von NewMathematiker95
Im script steht : gliedweise Integration ist möglich wenn f(x) eine stetige Funktion ist und für den 0ten komplexen Fourierkoeffizient gilt das er 0 ist.

Ich tippe mal das ist anders gemeint. Ob gliedweise Integration "erlaubt" ist, d.h. das korrekt e Ergebnis liefert, hängt nicht vom 0-ten Glied ab. Wie du ja bereits angemerkt ist, stört eine $\begin{eqnarray*} +1 \end{eqnarray*}$ kaum beim integrieren.

Was vermutlich gemeint ist: Man darf die Fourierreihe gliedweise integrieren und das Ergebnis ist wieder eine Fourierreihe.

In deinem Beispiel und einer Periode von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ist: $\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n \in \mathbb Z} c_n \exp \left ( i n x\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c_1 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_n = 0 \end{eqnarray*}$ sonst.

Wenn du das einmal integrierst, bekommst du $\begin{eqnarray*} F(x) = \sum_{n \in \mathbb Z} \widetilde {c_n} \exp \left ( i n x\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \widetilde {c_1} = -i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \widetilde {c_n} = 0 \end{eqnarray*}$ sonst.

Wenn du jetzt die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) = 1 \end{eqnarray*}$ hast, so ist $\begin{eqnarray*} g(x) = \sum_{n \in \mathbb Z} c_n \exp \left ( i n x\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c_0 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_n = 0 \end{eqnarray*}$ sonst.
Gliedweise integrieren liefert nun aber keine Fourierreihe, da $\begin{eqnarray*} c_0=x \end{eqnarray*}$ sein müsste.

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