Gleichheit zweier Mengen

21.05.2023, 13:53	OldOne	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheit zweier Mengen Meine Frage: Hey, nach langer Pause von der Mathematik habe ich eine Aufgabe vor mir, die mir zwar recht einfach scheint, wobei ich mir bei meinem Beweis nicht sicher bin, da dieser zu einfach ist. Also zur Aufgabenstellung: Seien die Mengen $\begin{eqnarray} P = \{x \in \mathbb R^n : Ax=b\} \end{eqnarray}$ gegeben, wobei $\begin{eqnarray} A \in \mathbb{R}^{m \times n}, b \in \mathbb R^m \end{eqnarray}$ . Weiter sei $\begin{eqnarray} Rang(A) = p \le m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a^\top_1, ..., a^\top_m \end{eqnarray}$ die Zeilen von A, wobei die ersten p Zeilen linear unabhängig sein. Definiere nun $\begin{eqnarray} \bar{A} = \begin{pmatrix} a^\top_1 \\ \vdots \\ a^\top_p \end{pmatrix} , \bar{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_p \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und hiermit die Menge $\begin{eqnarray} <br /> \bar {P} = \{x \in \mathbb R^n : \bar{A}x=\bar{b}\} \end{eqnarray}$ . Zu zeigen: Ist $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ nicht leer, so gilt $\begin{eqnarray} P = \bar{P} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich würde das klassisch mit $\begin{eqnarray} P \subseteq \bar{P} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \bar{P} \subseteq P \end{eqnarray}$ zeigen, wobei daraus die Gleichheit folgt. Sei also $\begin{eqnarray} x \in P \end{eqnarray}$ , dann erfüllt x $\begin{eqnarray} Ax=b \end{eqnarray}$ es gilt also $\begin{eqnarray} b_i = a_i^{top} x \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i = 1,..,n \end{eqnarray}$ . Insbesondere also für alle $\begin{eqnarray} i = 1,...,p \end{eqnarray}$ woraus $\begin{eqnarray} P \subseteq \bar{P} \end{eqnarray}$ . Die andere Richtung mit Kontraposition, es ist also zu zeigen $\begin{eqnarray} x \notin P \implies x \notin \bar{P} \end{eqnarray}$ . Ist also $\begin{eqnarray} x \notin P \end{eqnarray}$ , so folgt $\begin{eqnarray} Ax \neq b \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} b_i \neq a_i^{top} x \end{eqnarray}$ . Hieraus folgt $\begin{eqnarray} x \notin \bar{P} \end{eqnarray}$ . Stimmt der Beweis so? Vorallem bei dem Teil mit der Kontraposition bin ich mir nicht sicher. Hab ja den Rang von A überhaupt nicht genutzt.
21.05.2023, 18:28	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit zweier Mengen $\begin{eqnarray} Ax\neq b \end{eqnarray}$ könnte ja auch bedeuten, dass $\begin{eqnarray} a_i^Tx=b_i \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i \in \{ 1,\ldots ,p\} \end{eqnarray}$ gilt und nur für die übrigen $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ nicht.
21.05.2023, 21:43	OldOne	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit zweier Mengen Stimmt das habe ich nicht bedacht. Wie könnte ich hier weiter machen? Ich habe versucht deine Annahme auf eine Widerspruch zu führen komme da aber auf nichts sinnvolles.
22.05.2023, 08:31	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit zweier Mengen Mit der vorausgesetzten linearen Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray} a_1^T,\ldots ,a_p^T \end{eqnarray}$ , Rang(A)=p und der Existenz einer Lösung, kann man begründen, dass Gleichungen $\begin{eqnarray} a_i^Tx=b_i,\ i=p+1,\ldots , n \end{eqnarray}$ letztlich nicht mehr als 0=0 bedeuten. Wenn du den Gauß-Algorithmus kennst, vereinfacht es die Argumentation.
22.05.2023, 15:24	OldOne	Auf diesen Beitrag antworten »
Das würde dann bedeuten, dass, falls x in P ist, b in den letzten n-p Komponenten nur Nuller hat? Verstehe ich das richtig?
22.05.2023, 15:29	OldOne	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach nein was erzähle ich denn da. Habs danke!
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