Infimum berechnen

22.05.2023, 23:32	Her Infitismal	Auf diesen Beitrag antworten »
Infimum berechnen Meine Frage: Sei a aus (0; unendlich]. Berechnen Sie inf(R^2 \ B(0, a)) für f(x,y)=x^2+y^2-1-ln((x+y)^2+1) alle x, y aus R^2 Meine Ideen: Ich hätte jetzt hier angefangen über das Extremwert theorem. Als erstes die Partiellen ableitungen von x und y berechnet und ausgerechnet da habe ich x=-y rausdas ganze =0 ergibt -2y=0 und y=0 also ist der kritische Punkt(0,0) Auf der Grenze von B(0,a) ist der Abstand zum Ursprung x^2+y^2=a^2 dass in f(x,y) ergibt f(a)=a^2-1-ln(a^2+1)Daher gilt dann in(f(x,y))von R^2\B(0,a) ist gegeben durch f(R^2\B(0,a))=min(f(0,0) a^2-1-ln(a^2+1) wäre das jetzt alles im allem so richtig gedacht würde mich gerne rückversichern unfimums berechnen ist schon solange her
23.05.2023, 20:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} f(x,y) = x^2 + y^2 -1 - \ln\left(2\left(x^2+y^2\right) - (x-y)^2 + 1\right) \geq x^2 + y^2 -1 - \ln\left(2\left(x^2+y^2\right) + 1\right) = g(x^2+y^2)\qquad () \end{eqnarray}$ wenn man Hilfsfunktion $\begin{eqnarray} g(t) := t-1 - \ln(2t+1) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [0,\infty) \end{eqnarray}$ betrachtet. In dieser Ungleichung () wird Gleichheit für $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ erreicht. Nun ist $\begin{eqnarray} g'(t) = 1 - \frac{2}{2t+1} = \frac{2t-1}{2t+1} \end{eqnarray}$ , das bedeutet, dass $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \left[0,\frac{1}{2}\right] \end{eqnarray}$ streng monoton fallend und auf $\begin{eqnarray} \left[\frac{1}{2},\infty\right) \end{eqnarray}$ streng monoton wachsend ist. Auf dieser Grundlage bekommt man im Fall $\begin{eqnarray} a\geq \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ als gesuchtes Infimum $\begin{eqnarray} g(a^2) = a^2-1-\ln\left(2a^2+1\right) \end{eqnarray}$ , erreichbar für $\begin{eqnarray} (x,y)\to \left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{a}{\sqrt{2}}\right) \end{eqnarray}$ . Im Fall $\begin{eqnarray} 0\leq a < \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ bekommt man indes Infimum $\begin{eqnarray} g\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}-\ln(2)\approx -1.193 \end{eqnarray}$ , erreichbar für $\begin{eqnarray} x=y=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »