Beweis Alon Nullstellensatz

28.05.2023, 22:03	moritzab	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Alon Nullstellensatz Meine Frage: Ich habe den Beweis im Anhang jetzt nach recht langem überlegen immer noch nicht ganz verstanden. Wie wählt man die h_i s und warum und ist f~ nicht genau f (zumindest wenn x_i in S_i)? Wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte Meine Ideen: Ich habe gedacht dass f~ = f da die Summe ja x_i^t+1 entspricht und somit das ersetzen nichts verändern sollte? Deswegen verstehe ich den Beweis nicht wirklich.
29.05.2023, 09:27	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Alon Nullstellensatz Wenn $\begin{eqnarray} x_i \in S_i \end{eqnarray}$ dann ändert die Substitution nichts, man macht es aber dennoch für alle $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ . Bei der Differenz der $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ fallen alle Terme weg, die nicht substituiert wurden. D.h. man schaut sich nur die Terme an, die davon betroffen sind. Bei der abgesetzten Formel passiert das. Anstatt sich alle Substitutionen anzuschauen, schaut man sich einen konkreten Fall an, nämlich der "erste" Summand der ersetzt wird. Da $\begin{eqnarray} f \in F[x_1, \ldots, x_n] \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f = \sum_{\alpha \in \mathbb N^n} \lambda_{\alpha} x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdot \ldots \cdot x_n^{\alpha_n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda_\alpha \end{eqnarray}$ immer 0 bis auf endlich viele Ausnahmen. D.h. beispielsweise der Summand $\begin{eqnarray} x_i^{t_i+1}\,\cdot\, \lambda x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdot \ldots \cdot x_{i-1}^{\alpha_{i-1}}x_{i+1}^{\alpha_{i+1}}\cdot \ldots \cdot x_n^{\alpha_n} \end{eqnarray}$ . Das $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ in dem Fall sind alle anderen Faktoren rechts von $\begin{eqnarray} x_i^{t_i+1} \end{eqnarray}$ . Wie der Autor schreibt, es wird Notation-heavy wenn man es sauber rechnen will.
29.05.2023, 14:48	moritzab	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Alon Nullstellensatz Hey! Erstmal vielen dank für die Antwort, hat mir sehr geholfen. Ich habe aber noch Fragen. Erstens, wenn wir den Term ab $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} h_i \end{eqnarray}$ definieren, warum ist dann der ganze Term $\begin{eqnarray} h_ig_i \end{eqnarray}$ weil $\begin{eqnarray} g_i\neq x_i^{t+1} \end{eqnarray}$ oder? Zweitens: Warum gilt $\begin{eqnarray} deg(h_i)\leq deg(f)-deg(g_i) \end{eqnarray}$ Vielen Dank nochmal!!
29.05.2023, 21:32	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Alon Nullstellensatz Erstens: Du siehst ja ganz am Anfang des Beweises wie $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ "definiert" ist. Wenn du das mit $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ multiplizierst, steht genau das da. Zweitens: Wir haben ja $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ so definiert, dass es "alles" von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist, außer die Faktoren $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ mit einem Exponenten größer als $\begin{eqnarray} t_i \end{eqnarray}$ . D.h. der Grad verringert sich um diesen Exponenten, der dann bei $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ definiert ist. Alternative Ansicht: Es gilt $\begin{eqnarray} deg(gh) = deg(g) + deg(h) \end{eqnarray}$ ganz allgemein für Polynome und man sagt nur, dass $\begin{eqnarray} deg(g_i h_i) = deg(g_i) + deg(h_i) \leq deg(f) \end{eqnarray}$ ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »