Unbestimmte Divergenz zeigen

29.05.2023, 16:52	Tom23	Auf diesen Beitrag antworten »
Unbestimmte Divergenz zeigen Meine Frage: Ich soll abschätzen, ob diese Reihe divergent ist. Wie mache ich das? Meine Ideen: Wenn ich weiss, ob 'ak' gegen 0 geht, würde ich dies herausfinden. Aber wie mache ich das?
29.05.2023, 17:06	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: unbestimmte divergenz zeigen Mir ist jetzt nicht klar, wo du hängst. Geht's um den Grenzwert,oder eine Abschätzung, von $\begin{eqnarray} \frac{n-1}{n+1} \end{eqnarray}$ ?
29.05.2023, 18:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz der Reihe ist, daß die Reihenglieder eine Nullfolge bilden. Hier geht es aber noch um mehr, nämlich um bestimmte oder unbestimmte Divergenz. Man könnte versuchen, die Beschränktheit der Partialsummen nachzuweisen.
29.05.2023, 20:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Z.B. so: Man zerlegt die Partialsumme gemäß $\begin{eqnarray} s_k = \sum_{n=1}^k (-1)^n\cdot \left[ 1 - \frac{2}{n+1}\right] = \sum_{n=1}^k (-1)^n + \sum_{n=1}^k (-1)^{n+1}\cdot \frac{2}{n+1} \end{eqnarray}$ D.h., es ist $\begin{eqnarray} s_k = u_k + v_k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u_k = \frac{(-1)^k-1}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_k = \sum_{n=1}^k (-1)^{n+1}\cdot \frac{2}{n+1} \end{eqnarray}$ . Folge $\begin{eqnarray} (u_k) \end{eqnarray}$ ist unbestimmt divergent sowie beschränkt, genauer gesagt alterniert sie zwischen -1 und 0, während $\begin{eqnarray} (v_k) \end{eqnarray}$ gemäß Leibnizkriterium konvergiert (übrigens gegen $\begin{eqnarray} 2-2\ln(2) \end{eqnarray}$ ).
29.05.2023, 20:51	Tom23	Auf diesen Beitrag antworten »
"Ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz der Reihe ist, daß die Reihenglieder eine Nullfolge bilden." Genau, wie forme ich es um, dass ich sehe, dass es keine Nullfolge ist?
29.05.2023, 21:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} (-1)^n \end{align}$ sorgt nur für den Vorzeichenwechsel. Und was ist mit $\begin{align} \frac{n-1}{n+1} \end{align}$ ? Setzt doch einmal große Zahlen ein: $\begin{align} n = 99: \ \ \frac{98}{100} = 0{,}98 \end{align}$ $\begin{align} n=99999: \ \ \frac{99998}{100000} = 0{,}99998 \end{align}$ Praktisches Vorgehen allgemein: Bruch mit $\begin{align} \frac{1}{n} \end{align}$ erweitern.
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29.05.2023, 22:03	Tom23	Auf diesen Beitrag antworten »
"Bruch mit 1/n erweitern." Perfekt, genau was ich gebraucht habe, um die Aufgabe zu verstehen, danke! Besten Dank für eure Zeit und alle Beiträge :-)
29.05.2023, 22:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut läßt sich der Grenzwert auch an dem Term, der bei HALs Umformung entstanden ist, ablesen.

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