Betragsfunktion innerhalb Fouriertransformation

30.05.2023, 21:41

NewMathematiker95

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Betragsfunktion innerhalb Fouriertransformation

Guten Abend zusammen,
ich soll die Fouriertransformierte von folgender Funktion bestimmen: $\begin{eqnarray*} e^{-|3-x|-|x-3|} \end{eqnarray*}$ .
Dazu will ich erstmal die Beträge auflösen:

$\begin{eqnarray*} |x-3| \end{eqnarray*}$ ist größer oder gleich 0 für $\begin{eqnarray*} 3\geq x \end{eqnarray*}$ und negativ für $\begin{eqnarray*} x>3 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} |x-3| \end{eqnarray*}$ ist größer oder gleich 0 für $\begin{eqnarray*} x\geq 3 \end{eqnarray*}$ und negativ für $\begin{eqnarray*} x < 3 \end{eqnarray*}$ .

Das müsste soweit richtig sein oder?

Das Integral muss ich dann ja jetzt in 3 Intervalle einteilen:
$\begin{eqnarray*} <br /> x \in \left(-\infty , 3 \right) &<br /> x=3 &<br /> x \in \left(3, \infty \right) <br /> \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich genau mit der x=3 um, da dort die eine Betragsfunktion ja negativ ist die andere positiv?

Vielen Dank schonmal

30.05.2023, 21:59

Steffen Bühler

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RE: Betragsfunktion innerhalb Fouriertransformation
Das kannst Du halten wie ein Dachdecker:

Der Wert für x=3 ist derselbe, nämlich 1.

Viele Grüße
Steffen

30.05.2023, 23:32

Leopold

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@ NewMathematiker95

Es ist doch $\begin{align*} \left| x-3 \right| = \left| 3-x \right| \end{align*}$ . Sicher, daß die Angaben stimmen?

30.05.2023, 23:56

NewMathematiker95

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Wo ich den Betrag aufgelöst hab,
Ist mir ein copy and paste Fehler passiert.

So das zweite auflösen : da ist |x-3| ist richtig.
Und das erste da sollte eigentlich |3-x| stehen, aber auflösen sollte richtig gerechnet worden sein

Dann lass ich das eine Integral von -unendlich bis 3 laufen und das andere von 3 bis unendlich, oder?
Denn ist ja stetig die Funktion.

31.05.2023, 08:35

Leopold

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Das ist ziemlich krude hier.

Es geht schon los mit der Aufgabenstellung. Da, ich habe es bereits gesagt, $\begin{align*} \left| x-3 \right| = \left| 3-x \right| \end{align*}$ gilt, erscheinen mir deine Angaben nicht glaubhaft.

Dann so etwas wie dieses:

Zitat:

Original von NewMathematiker95

$\begin{eqnarray*} |x-3| \end{eqnarray*}$ ist größer oder gleich 0 für $\begin{eqnarray*} 3\geq x \end{eqnarray*}$ und negativ für $\begin{eqnarray*} x>3 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} |x-3| \end{eqnarray*}$ ist größer oder gleich 0 für $\begin{eqnarray*} x\geq 3 \end{eqnarray*}$ und negativ für $\begin{eqnarray*} x < 3 \end{eqnarray*}$ .

Abgesehen von copy-and-past-Fehlern: Beträge sind immer $\begin{align*} \geq 0 \end{align*}$ . Daher gilt $\begin{align*} \left| x-3 \right| \geq 0 \end{align*}$ . Immer. Vielleicht sprichst du vom Term in den Betragsstrichen, also von $\begin{align*} x-3 \end{align*}$ . Dann mußt du das aber auch so schreiben.

Man weiß gar nicht, wo man hier anfangen soll.

Am besten beginnst du noch einmal ganz von vorne. Und das heißt zunächst: die korrekte Aufgabenstellung im originalen Wortlaut angeben.

31.05.2023, 10:38

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von NewMathematiker95
Dann lass ich das eine Integral von -unendlich bis 3 laufen und das andere von 3 bis unendlich, oder?

Richtig.

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31.05.2023, 12:00

Leopold

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@ Steffen

Ich bin der Ansicht, es sollten erst die Aufgabenstellung und die Rahmenbedingungen geklärt werden, bevor man Zwischenrechnungen einer möglicherweise falschen Aufgabe bestätigt. Noch immer ist mir nicht klar, warum innerhalb desselben Terms die Ausdrücke $\begin{align*} \left| x-3 \right| \end{align*}$ und $\begin{align*} \left| 3-x \right| \end{align*}$ auftreten. Ausschließen kann man nichts, aber ungewöhnlich ist das auf jeden Fall. Es ist sogar verdächtig.

31.05.2023, 12:48

Steffen Bühler

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RE: Betragsfunktion innerhalb Fouriertransformation
Leopold, ich finde die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{-|3-x|-|x-3|} \end{eqnarray*}$ nicht besonders verdächtig. Sicher kann man im Betrag Minuend und Subtrahend vertauschen:

$\begin{eqnarray*} e^{-|3-x|-|x-3|} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =e^{-|3-x|-|3-x|} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =e^{-|x-3|-|x-3|} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =e^{-|x-3|-|3-x|} \end{eqnarray*}$

Der Aufgabensteller hat sich nun mal für die erste Schreibweise entschieden.

31.05.2023, 12:53

Leopold

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$\begin{align*} \operatorname{e}^{-|3-x|-|x-3|} = \operatorname{e}^{-2 \, |x-3|} \end{align*}$

Du würdest doch auch nicht $\begin{align*} \operatorname{e}^{-t-t} \end{align*}$ stehen lassen.

31.05.2023, 13:02

Steffen Bühler

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Das ist zwar ein Argument. Vielleicht soll der Student ja diese Vereinfachung zunächst vornehmen. Vielleicht aber auch einfach von alleine auf

$\begin{eqnarray*} f (x) = \left\{ \begin{array}{ll}e^{-2 \cdot (x-3)} & x \geq 3 \\e^{-2 \cdot (3-x)} & \, \textrm{sonst} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

kommen, indem er sich beispielsweise den Graphen ansieht.

31.05.2023, 13:29

NewMathematiker95

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Erstmal danke,

und die Aufgabe lautet wie folgt:

Berechnen Sie die Fouriertransformation von $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-|3-x|-|x-3|} \end{eqnarray*}$ .

Unsere Fouriertransformationsformel lautet :
$\begin{eqnarray*} F(w)=\int_{-\infty}^{\infty} \! f(x)e^{-iwx} \, dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt erstmal vereinfache komme ich erstmal auf :
$\begin{eqnarray*} F(w)=\int_{-\infty}^{\infty} \! f(x)e^{-iwx} \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \! e^{-|3-x|-|x-3|}e^{-iwx} \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \! e^{-|3-x|-|-(3-x)|}e^{-iwx} \<br /> = \int_{-\infty}^{\infty} \! e^{-|3-x|-|-1||(3-x)|}e^{-iwx} \ = \int_{-\infty}^{\infty} \! e^{-|3-x|-|(3-x)|}e^{-iwx} \<br /> = \int_{-\infty}^{\infty} \! e^{-2|3-x|}e^{-iwx} \ \end{eqnarray*}$

Rechne gleich weiter

31.05.2023, 13:59

Leopold

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Tip: Substituiere zunächst $\begin{align*} x-3 = t \end{align*}$ , oder gleichwertig $\begin{align*} x = t+3 \end{align*}$ . Es ist keine große Sache und auch nicht unbedingt erforderlich, zentriert aber die Fallunterscheidung bei $\begin{align*} t=0 \end{align*}$ statt bei $\begin{align*} x=3 \end{align*}$ . Wegen der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion läßt sich danach der Faktor $\begin{align*} \operatorname{e}^{-3 \operatorname{i} \omega} \end{align*}$ vors Integral ziehen. Danach erst würde ich den Integrationsbereich für die Fallunterscheidung bei $\begin{align*} |t| \end{align*}$ aufspalten und mittels einer Substitution dafür sorgen, daß beide Integrale denselben Integrationsbereich besitzen.
Es ist nur ein Vorschlag zur Rechenoptimierung. Viele Wege führen nach Rom.

31.05.2023, 15:04

NewMathematiker95

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Habe jetzt die Substitution x=t+3 benutzt und erhalte dann folgendes:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! e^{-2|3-(t+3)|}e^{-iw(t+3)} \, dt=<br /> \int_{-\infty}^{\infty} \! e^{-2|-t|}e^{-iw(t+3)} \, dt =<br /> \int_{-\infty}^{\infty} \! e^{-2|t|}e^{-iw(t+3)} \, dt<br /> =\int_{-\infty}^{0} \! e^{2t}e^{-iwt}e^{-3iw} \, dt + \int_{0}^{\infty} \! e^{-2t}e^{-iwt}e^{-3iw} \, dt \end{eqnarray*}$

Und ja man könnte es noch rausziehen , aber ist es soweit richtig?

31.05.2023, 15:51

Steffen Bühler

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Ich sehe keinen Fehler.

31.05.2023, 19:20

Leopold

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Jetzt im ersten Integral $\begin{align*} t = -s \end{align*}$ substituieren, so daß du denselben Integrationsbereich wie beim zweiten Integral bekommst. Dann kannst du alles unter ein Integral ziehen, mit dem Faktor $\begin{align*} \operatorname{e}^{-3 \operatorname{i} \omega} \end{align*}$ davor. Dann beachte: $\begin{align*} \operatorname{e}^{\operatorname{i}u} + \operatorname{e}^{- \operatorname{i}u} = 2 \cos(u) \end{align*}$

31.05.2023, 19:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Dann beachte: $\begin{align*} \operatorname{e}^{\operatorname{i}u} + \operatorname{e}^{- \operatorname{i}u} = 2 \cos(u) \end{align*}$

Das würde ich vorerst nicht tun: Die Integration der reinen Exponentialfunktionen $\begin{eqnarray*} e^{(-iw\pm 2)t} \end{eqnarray*}$ (wenn auch komplex) ist doch viel einfacher durchführbar.

31.05.2023, 19:32

NewMathematiker95

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So habe weitergerechnet und ja ich weiß das man das mit den unendlichen Grenzen normalerweise nicht so hinschreibt , hab es auf papier formal gemacht mit grenzwertbetrachtung

$\begin{eqnarray*} e^{-3iw} \biggr( \int_{-\infty}^{0} \! e^{(2-iw)t} \, dt +\int_{0}^{\infty} \! e^{-(2+iw)t} \, dt \biggr)<br /> = e^{-3iw}\biggr( \left[\frac{e^{(2-iw)t}}{2-iw}\right]_{-\infty}^{0} + \left[\frac{e^{-(2+iw)t}}{-(2+iw)}\right]_{0}^{\infty} \biggr) = e^{-3iw}\biggr( (\frac{1}{2-iw}-0) + (0 - \frac{1}{-(2+iw)} ) \biggr) = e^{-3iw} \biggr( \frac{2+iw}{w^2+4}+ \frac{2-iw}{w^2+4}\biggr) = e^{-3iw} \biggr( \frac{2+iw+2-iw}{w^2+4}\biggr) = e^{-3iw} \biggr( \frac{4}{w^2+4}\biggr)= 4\frac{e^{-3iw}}{w^2+4} \end{eqnarray*}$

Wäre das richtig?

Bedanke mich schonmal sehr für die Hilfe

31.05.2023, 19:40

HAL 9000

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Stimmt (und das war es auch, was ich mit meinem letzten Post andeuten wollte).

31.05.2023, 19:42

NewMathematiker95

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Vielen Dank euch

31.05.2023, 21:56

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Leopold
Dann beachte: $\begin{align*} \operatorname{e}^{\operatorname{i}u} + \operatorname{e}^{- \operatorname{i}u} = 2 \cos(u) \end{align*}$

Das würde ich vorerst nicht tun: Die Integration der reinen Exponentialfunktionen $\begin{eqnarray*} e^{(-iw\pm 2)t} \end{eqnarray*}$ (wenn auch komplex) ist doch viel einfacher durchführbar.

Ja, das ist wohl so.

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